朗道規範,即朗道量子化(Landau quantization),是指均勻磁場中帶電粒子的迴旋軌道發生的量子化。這些帶電粒子能量在一系列分立的數值中取值,形成朗道能級。朗道能級是簡併的,每一能級上電子的電子數量與外加磁場的強度成正比。由朗道量子化可以得出外磁場會導致材料中電子性質的振盪。這一理論是由蘇聯物理學家列夫·朗道於1930年提出的。
基本介紹
- 中文名:朗道規範
- 外文名:Landau quantization
- 別稱:朗道量子化
- 領域:量子力學
推導,朗道能級,討論,對稱規範中的朗道能級,規範變換的影響,參見,
推導
朗道量子化可以通過準經典的方法部分導出。這裡採用量子力學的方法進行推導:
考慮一個帶電粒子組成的二維系統。這些粒子無內部相互作用,所帶電荷為q,自旋量子數為S,並被限制在x-y平面內一個面積A=LxLy的區域內。



在這一規範下,系統的哈密頓算符為:
如果設定迴旋頻率ωc= qB/mc,那么可以得出此時哈密頓算符為:

這與量子諧振子的哈密頓算符基本一致,但勢能的最小值需要在位置表象中移動x0=ħky/mωc。
為了得出能量,我們假設對於諧振子勢能的平移並不會影響到系統的能量,也就是說這一系統的能量與標準的量子諧振子一致:

由於能量與量子數ky無關,因而會存在一定的簡併態。
由於
與哈密頓算符是對易的,因而系統的波函式可以表示為y方向上動量的本徵值與諧振子本徵矢
的乘積,但
也需要在x方向上移動x0,即:




總之,電子的狀態可以通過n與ky這兩個量子數表征。
朗道能級
朗道量子化所造成的效應只能在平均內能小於能級間差值,即kT ≪ ħωc時才能被觀測到。簡單來說就是溫度較低,外磁場較強。
每個朗道能級都具有一定的簡併度,因為量子數ky的取值情況為:



因而對於自旋為S的粒子,每個朗道能級的簡併度的最大值D為:

一般來說,朗道能級可以在電子系統中被觀察到,其中Z=1,S=1/2。隨著磁場增強,越來越多的電子會占據朗道能級。最高的朗道能級的占據情況會導致多種電子性質振盪,如德哈斯-范阿爾芬效應及舒布尼科夫-德哈斯效應。
如果考慮到塞曼效應的話,那么每個朗道能級都會分裂為一對能級:一個為自旋向上的電子占據的能級,一個是自旋向下的電子占據的能級。此時每個自旋朗道能級的簡併度就會是磁通量的比率:D=Φ/Φ0。兩個能級與分裂前的能級間隔是相同的:2μBB=ħω。然而在多個能級被占滿時,系統的費米能與基態的能量卻是大致相同的,因為塞曼效應造成的影響,在這些能級相加時會被抵消掉。
討論
在上面的推導過程中,x與y似乎並不對稱。然而,考慮到系統的對稱性,並沒有物理量能表征這兩個坐標的區別。在對x與y進行適當的內部變換後,可以得到相同的結果。
此外,上述推導中電子在z方向上運動受限的情形儘管在實驗中確實存在,如二維電子氣。但這一假設並不基本。如果電子在z方向上可以自由移動,那么波函式還需要乘以一個因子exp(ikzz),能量對應地需要加上(ħ kz)/(2m)。這一項會“填入”能級間隙,從而減小量子化的效果。但在垂直於磁場的平面x-y上的運動仍是量子化的。
對稱規範中的朗道能級
選定對稱規範:




引入算符:




這些算符的對易關係為:

哈密頓算符可記為:

朗道能級序數n是
的本徵值。

角動量z方向上的分量為:







使用
可以使m減小一個單位同時使n保持不變,而
則可以使n增大一個單位,同時令m減小一個單位。類比量子諧振子,可以得到:





在朗道規範與對稱規範下,每個朗道能級上的簡併軌道分別以量子數ky及m表征,每個朗道能級上單位面積的簡併度是相同的。
可以證明選定下面這個波函式時,也可以得到上面得到的結果:


規範變換的影響
進行這樣的規範變換:






為了考察規範變換帶來的影響,設磁矢勢為A與A時的量子態為
與
。


由於
和
是規範不變的,可以得到:





設算符
會使
,則:






參見
- 物理學主題
- 勞夫林波函式