朗道規範

朗道規範，即朗道量子化（Landau quantization），是指均勻磁場中帶電粒子的迴旋軌道發生的量子化。這些帶電粒子能量在一系列分立的數值中取值，形成朗道能級。朗道能級是簡併的，每一能級上電子的電子數量與外加磁場的強度成正比。由朗道量子化可以得出外磁場會導致材料中電子性質的振盪。這一理論是由蘇聯物理學家列夫·朗道於1930年提出的。

基本介紹

• 中文名：朗道規範
• 外文名：Landau quantization
• 別稱：朗道量子化
• 領域：量子力學

推導

朗道量子化可以通過準經典的方法部分導出。這裡採用量子力學的方法進行推導：

考慮一個帶電粒子組成的二維系統。這些粒子無內部相互作用，所帶電荷為q，自旋量子數為S，並被限制在x-y平面內一個面積A=L_xL_y的區域內。

對這一系統施加一個沿z軸的均勻磁場 。由於自旋對於這個二維系統沒有影響，因而在下面的推導中將忽略自旋。在CGS單位制下，這個系統的哈密頓算符為：

式中 為正則動量算符， 為磁場的磁矢勢，與磁感應強度的關係為：

給定磁場的磁矢勢具有一定的規範自由度。當 被添加一個標量場的梯度時，波函式的整體相位也會隨著標量場產生一定的變化，但由於哈密頓算符具有規範不變性，系統的物理性質並不受選定的規範影響。為了簡便計算，這裡選擇朗道規範：

式中B=|B|，x為位置算符x方向上的分量。

在這一規範下，系統的哈密頓算符為：

算符 與這一哈密頓算符是對易的。這是因為在選定規範時，算符 被忽略掉了，因而算符 可被它的本徵值ħk_y替代。

如果設定迴旋頻率ω_c= qB/mc，那么可以得出此時哈密頓算符為：

這與量子諧振子的哈密頓算符基本一致，但勢能的最小值需要在位置表象中移動x₀=ħk_y/mω_c。

為了得出能量，我們假設對於諧振子勢能的平移並不會影響到系統的能量，也就是說這一系統的能量與標準的量子諧振子一致：

由於能量與量子數k_y無關，因而會存在一定的簡併態。

由於 與哈密頓算符是對易的，因而系統的波函式可以表示為y方向上動量的本徵值與諧振子本徵矢 的乘積，但 也需要在x方向上移動x₀，即：

總之，電子的狀態可以通過n與k_y這兩個量子數表征。

朗道能級

朗道量子化所造成的效應只能在平均內能小於能級間差值，即kT ≪ ħω_c時才能被觀測到。簡單來說就是溫度較低，外磁場較強。

每個朗道能級都具有一定的簡併度，因為量子數k_y的取值情況為：

式中N為整數。N所允許的取值受到振子的運動中心坐標x₀的影響。振子的運動必須在系統範圍內，也就是說0 ≤x₀< L_x。這給出了N的取值範圍：

對於帶電量q=Ze的粒子來說，N的上限可以表記為磁通量的比值：

式中Φ₀= h/2e為磁通量的基本量子，Φ = BA是系統的磁通量，面積A=L_xL_y。

因而對於自旋為S的粒子，每個朗道能級的簡併度的最大值D為：

上述討論只是在有限尺度內給出的粗略的結果，嚴格來說，諧振子解只對在x方向上不受限的系統有效，如果系統尺度L_x是有限的，那個方向上的束縛態條件會導致磁場中的非標準量子化情況。原則上，兩個都是埃爾米特方程的解。多電子對於朗道能級的填充仍是研究熱點之一。

一般來說，朗道能級可以在電子系統中被觀察到，其中Z=1，S=1/2。隨著磁場增強，越來越多的電子會占據朗道能級。最高的朗道能級的占據情況會導致多種電子性質振盪，如德哈斯-范阿爾芬效應及舒布尼科夫-德哈斯效應。

如果考慮到塞曼效應的話，那么每個朗道能級都會分裂為一對能級：一個為自旋向上的電子占據的能級，一個是自旋向下的電子占據的能級。此時每個自旋朗道能級的簡併度就會是磁通量的比率：D=Φ/Φ₀。兩個能級與分裂前的能級間隔是相同的：2μ_BB=ħω。然而在多個能級被占滿時，系統的費米能與基態的能量卻是大致相同的，因為塞曼效應造成的影響，在這些能級相加時會被抵消掉。

討論

在上面的推導過程中，x與y似乎並不對稱。然而，考慮到系統的對稱性，並沒有物理量能表征這兩個坐標的區別。在對x與y進行適當的內部變換後，可以得到相同的結果。

此外，上述推導中電子在z方向上運動受限的情形儘管在實驗中確實存在，如二維電子氣。但這一假設並不基本。如果電子在z方向上可以自由移動，那么波函式還需要乘以一個因子exp(ik_zz)，能量對應地需要加上(ħ k_z)/(2m)。這一項會“填入”能級間隙，從而減小量子化的效果。但在垂直於磁場的平面x-y上的運動仍是量子化的。

對稱規範中的朗道能級

選定對稱規範：

對於哈密頓算符進行去量綱化：

實際值可以通過引入q、c、、及m等常數得出。

引入算符：

這些算符的對易關係為：

哈密頓算符可記為：

朗道能級序數n是的本徵值。

角動量z方向上的分量為：

利用其與哈密頓算符可對易，即，我們選定的本徵值為使與對角化的本徵函式。易見，在第n個朗道能級上存在。然而m的值可能非常大。在下面將推導系統表現出的有限簡併度。

使用可以使m減小一個單位同時使n保持不變，而則可以使n增大一個單位，同時令m減小一個單位。類比量子諧振子，可以得到：

在朗道規範與對稱規範下，每個朗道能級上的簡併軌道分別以量子數k_y及m表征，每個朗道能級上單位面積的簡併度是相同的。

可以證明選定下面這個波函式時，也可以得到上面得到的結果：

式中。

特別地，對於最低的朗道能級，即時，波函式為任意一個解析函式與高斯函式的乘積：。

規範變換的影響

進行這樣的規範變換：

運動學動量的定義為：

式中為正則動量。哈密頓算符是規範不變的，因而與也會在規範變換後保持不變，但會受到規範變換的影響。

為了考察規範變換帶來的影響，設磁矢勢為A與A時的量子態為與。

由於和是規範不變的，可以得到：

設算符會使，則：

綜上所述：

參見

• 物理學主題
  
• 巴克豪森效應
  
• 量子霍爾效應
  
• 勞夫林波函式