高斯函式

高斯函式以大數學家約翰·卡爾·弗里德里希·高斯的名字命名。高斯函式套用範圍很廣，在自然科學、社會科學、數學以及工程學等領域都能看到它的身影。

基本介紹

• 中文名：高斯函式
• 外文名：Gaussian Function
• 套用：自然科學、社會科學、數學
• 發明者：約翰·卡爾·弗里德里希·高斯

定義

高斯函式的形式為：

其中a、b與c為實數常數，且a> 0。

c= 2的高斯函式是傅立葉變換的特徵函式。這就意味著高斯函式的傅立葉變換不僅僅是另一個高斯函式，而且是進行傅立葉變換的函式的標量倍。

高斯函式屬於初等函式，但它沒有初等不定積分。但是仍然可以在整個實數軸上計算它的廣義積分：

相關定義

高斯函式的圖形在形狀上像一個倒懸著的鐘。參數a指高斯曲線的峰值，b為其對應的橫坐標，c即標準差（有時也叫高斯RMS寬值），它控制著“鐘”的寬度。

高斯函式的積分

任意高斯函式的積分是：

另一種形式是：

其中f必須是嚴格積分的積分收斂。

證明：

積分

對於某些實常數a，b，c> 0可以通過將其放入高斯積分的形式來計算。首先，常數a可以簡單地從積分中分解出來。接下來，積分變數從x變為y=x-b。

然後，使用高斯積分標識：

有：

套用

高斯函式的不定積分是誤差函式。在自然科學、社會科學、數學以及工程學等領域都有高斯函式的身影，這方面的例子包括：

• 在統計學與機率論中，高斯函式是常態分配的密度函式，根據中心極限定理它是複雜總和的有限機率分布。
  
• 高斯函式是量子諧振子基態的波函式。
  
• 計算化學中所用的分子軌道是名為高斯軌道的高斯函式的線性組合（參見量子化學中的基組）。
  
• 在數學領域，高斯函式在埃爾米特多項式的定義中起著重要作用。
  
• 高斯函式與量子場論中的真空態相關。
  
• 在光學以及微波系統中有高斯波束的套用。
  
• 高斯函式在圖像處理中用作預平滑核（參見尺度空間表示）。