擬對稱映射相關的幾個問題的研究

《擬對稱映射相關的幾個問題的研究》是依託湖北大學，由代玉霞擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：擬對稱映射相關的幾個問題的研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：代玉霞
• 依託單位：湖北大學

項目摘要

本項目主要研究歐氏空間中的擬對稱極小集和擬對稱無窮集，同時討論一般加倍測度空間中的各類權函式，屬於分形幾何與擬對稱映射以及加倍測度的交叉課題。我們擬解決如下幾個問題：（一）描述直線上的1-維擬對稱極小集的幾何特徵；（二）回答n維歐氏空間中是否存在Hausdorff維數為1的擬對稱無窮集；（三）討論一般加倍測度空間中的各類權函式的等價描述、性質及套用。這些問題從多個不同角度研究擬對稱映射，問題的解決將推動擬對稱理論的發展，也將豐富分形理論。我們將綜合套用分形幾何、擬對稱理論、幾何測度論、擬共形理論及調和分析等的知識和技巧，積極思考探討，努力解決這些問題。

結題摘要

本項目最初擬研究擬對稱極小集、擬對稱無窮集以及加倍測度的權函式，屬於分形幾何與擬對稱及加倍測度交叉的課題，這是當前較活躍的一個數學分支。在該項目的研究中我們的計畫有所調整，主要研究了下面幾個問題。 研究了Sierpinski地毯S上的自相似測度及Markov測度的加倍性質，同時刻畫了S上加倍的自相似測度和Markov測度。下一步，擬研究加倍測度的權函式，從一些較好的權函式出發刻畫其加倍的條件。 研究了數字限制集的維數和擬對稱極小性，給出了廣義數字限制集的上、下Assouad維數公式以及一般數字限制集為擬對稱極小集和擬對稱厚（零）集的充分條件。下一步，擬繼續尋找1-維擬對稱的例子。 研究了非緊空間上加倍測度的性質，得到了加倍測度的局部熵和集合的Bowen熵之間的關聯。 研究了分形方塊的拓撲Hausdorff 維數和量綱問題，得到了分形方塊類（9塊留m塊，m<8）的拓撲Hausdorff 維數公式以及分形方塊（9塊留6塊）拓撲分類和Bilipschitz等價類。 下一步，我們擬進一步考察分形方塊的擬對稱等價類。 研究了擬對稱映射對分形集的分形維數的影響和改變，證明了在n維歐式空間中擬對稱映射可將A ssouad維數>0的集映為A ssouad維數任意接近n. 這些問題從不同方面研究擬對稱映射，研究的內容和結果豐富了分形幾何和加倍測度理論，也推動了擬對稱映射的進一步研究。