《BMO-Teichmüller空間的若干問題研究》是依託江蘇師範大學，由魏華影擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：BMO-Teichmüller空間的若干問題研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：魏華影
- 依託單位：江蘇師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目就BMO-Teichmüller空間的拓撲和分析性質展開研究. 我們將利用複分析和調和分析的方法, 特別以擬共形延拓理論, Hardy-Littlewood極大函式以及A^∞條件為工具, 討論強對稱同胚群在BMO拓撲下的拓撲群性質, 研究Carleson測度在擬共形映射下的拉回測度, 擬直接證明Cui-Zinsmeister關於強擬對稱同胚的Douady-Earle延拓的復特徵的結果. 上述研究將加深對萬有Teichmüller空間的BMO理論的理解, 並將有益於目前備受關注的弦弧曲線空間的研究.
結題摘要
於20世紀30-40年代，Teichmüller 本人在Riemann 模問題的研究過程中引入了Teichmüller 空間。隨後，於50-60年代，經過Ahlfors、Bers 等人對Teichmüller 的工作進行了全新的詮釋，Teichmüller 空間才引起了人們廣泛的關注並得到了充分的研究。近些年來，一些有重要分析背景或者幾何背景的子空間被相繼引入。BMO-Teichmüller 空間是與調和分析中BMO 函式、Carleson 測度以及弦弧曲線、A^∞條件等密切相關的一類子空間，本項目在前人研究成果的基礎上，從複分析的角度繼續對BMO-Teichmüller 空間的分析以及拓撲性質展開研究。 本項目的主要研究內容以及重要結果如下： (1)證明了強擬對稱同胚群在BMO 拓撲下是一個偏拓撲群；而其特徵拓撲子群是強對稱同胚群。 (2)通過證明Douady-Earle 延拓誘導的Beltrami 係數之間的映射作用在VMO-Teichmüller上的連續性，證明了VMO-Teichmüller空間具有可縮性。(3)證明了光滑Zygmund 函式向量場的流映射是對稱同胚，以及Sobolev 空間H^{3/2}向量場的流映射是Weil-Petersson類同胚。 (4)我們研究了Carleson 測度和小Carleson 測度在拉回和前推運算元下的不變性。作為套用，證明了弦弧曲線空間的某種商空間具有自然的復Banach 流形結構。(5)我們證明了BMO-Teichmüller 空間三種定義之間是雙全純等價的；並且表明Douady-Earle 延拓運算元作用在BMO-Teichmüller 空間上在原點是可微的。(6)我們研究了Ahlfors-regular 區域和Carleson 測度在前推運算元下的不變性之間的關係。作為套用，利用擬共形反射給出具有小範數的弦弧曲線和漸進光滑曲線一個新的特徵性質。 上述研究結果加深了我們對萬有Teichmuller 空間的BMO 理論的理解。我們希望這些結果能進一步套用於複分析以及調和分析相關問題的研究中，尤其是套用於有界弦弧曲線流形的連通性這一公開問題的研究中。
