基本介紹
- 中文名：廣義特徵值問題
- 外文名：Generalized Eigenvalue Problems
- 所屬學科：數學
等價形式
由於B正定，故廣義特徵值問題可轉化為下面兩種形式
（1）用B左乘原式兩端得：
BAx=λx
這樣就把廣義特徵值問題等價地化為了矩陣BA的普通特徵值問題，雖然B，A都是對稱矩陣，但其乘積一般不再是對稱矩陣。
（2）對於正定矩陣B進行Cholesky分解，得B=GG，其中G是下三角矩陣，於是原式可以寫為：
Ax=λGGx
令y=Gx，則有x=（G）y，整理得
Sy=λy
其中S=GA（G）是對稱矩陣
（3）計算矩陣B的譜分解B=X△X，其中X是正交矩陣，△是對角矩陣。因此原式等價於：
XAXy=λ△y，其中y=Xx，進而轉化為：Dz=λz，其中D=△XAX△，z=△y
但是當矩陣A，B均為稀疏對稱矩陣時，（2）（3）算法均丟失了矩陣的稀疏性，引起了計算量和存儲量的增加。
並行算法
（1）二分/多分法
二分/多分法是計算實對稱矩陣特徵值問題最常用的並行算法，尤其適合計算部分特徵值問題，大多數情況下只需計算給定區間內的特徵值或給定序號的特徵值，因而二分/多分法是一個很好的選擇。
（2）分治算法
分治算法簡稱為DC算法，是一種較新的比較適合計算的矩陣廣義特徵值問題算法。DC算法的基本思想是將大問題分解為兩個易於計算的子問題，先求解子問題，然後構成一個比原問題容易求解的廣義特徵值問題。對於子問題，仍可繼續利用DC算法，使矩陣規模達到很小，以便於計算。
（3）同倫連續法
同倫連續法是求解矩陣廣義特徵值問題的一種新的並行算法。
（4）疊代法
前面介紹的計算廣義特徵值問題的各種算法都要對矩陣進行變換，然後進行求解。另外還有一類算法，只用到矩陣與向量相乘而不作矩陣變換，此類算法就是疊代法。典型的疊代法有 Lanczos 、Davidson、 Arnoldi 、子空間疊代、 Rayleigh商逆疊代等算法。
