《求解大規模矩陣問題的非準確方法和全局投影方法》是依託清華大學，由賈仲孝擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：求解大規模矩陣問題的非準確方法和全局投影方法
- 依託單位：清華大學
- 項目負責人：賈仲孝
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
大規模矩陣計算是大規模數值計算的基礎，特徵問題和相關問題的數值方法的理論研究和算法開發存在很多挑戰性問題，具有十分重要的理論意義和套用價值。該項目的研究內容包括：大規模線性和非線性特徵問題及相關問題的多種數值方法理論研究和算法開發，重點是多個全局投影型方法和多種關於標準特徵值問題和廣義特徵值問題的非準確數值方法的理論分析與算法開發，包括全局精化Arnoldi型方法的提出與分析，開發隱式重啟算法，用不帶預處理和調諧預處理的疊代法求解內疊代線性方程組時標準對稱與非對稱特徵問題及廣義特徵問題的非準確Rayleigh商疊代的收斂性分析，非準確的位移求逆Arnoldi型方法、非準確的位移求逆精化Arnoldi型方法和對應的非準確隱式重啟算法；對非準確數值方法中的內疊代線性方程組提出合理的調諧預處理；研究一般大規模線性方程組的稀疏近似逆預處理技術。在這些課題上進行突破，取得具有國際水平的研究成果。
結題摘要
（1）將求解標準特徵問題的Rayleigh-Ritz方法和精化Rayleigh-Ritz方法擴展到周期矩陣特徵問題，建立了方法具有普遍意義的收斂性理論。（2）建立了求解特徵問題的全局Arnoldi方法的框架。對於重特徵問題，當確定特徵值的重數並計算對應的特徵空間時，全局方法比標準方法有明顯的優勢。開發了實用的隱式重啟全局Arnoldi算法。（3）對於反Hamilton/Hamilton結構矩陣對的特徵值問題，提出了保結構的各向異性精化Arnoldi方法，開發了隱式重啟算法。（4）當Rayleigh商疊代每步（外）疊代涉及的線性方程組近似求解時，得到非準確的Rayleigh商疊代。建立了它的收斂性理論。當線性方程組用最小殘量法(MINRES)和Lanczos方法分別求解時，建立了其精度如何影響外疊代的收斂性一系列新結果，本質上改進了文獻中結論。（5）建立了求解二次特徵值問題的標準Rayleigh-Ritz方法和精化 Rayleigh-Ritz方法的具有普適性的收斂性理論。(6) 建立了非準確的殘量Arnoldi方法和 Jacobi-Davidson方法的內疊代精度選取的具有普適性的理論，為開發實用魯棒的算法提供了理論基礎。（7）研究了大規模稀疏線性方程組的旨在具有普適性的稀疏近似逆預處理技術。Grote & Huckle提出的自適應SPAI方法和Jia & Zhu提出的冪稀疏近似逆（PSAI）的自適應預處理方法具有代表性。然而，如果係數矩陣非規則，即它至少有一列比較稠密，則SPAI和PSAI構造預處理子的代價必然很昂貴，而且SPAI構造的預處理子質量可能很差。利用Sherman-Morrison公式，我們將原來的非規則問題等價地轉化成規則問題，然後用SPAI和PSAI快速構造預處理子，通過求解規則問題，最後還原得到原方程組的近似解。這種新的方法和直接求解非規則問題相比，計算效率大為提高。（8）在近似稀疏逆預處理方法中，一個根本性的問題是“捨棄閾值”準則的選取。我們研究了PSAI方法的閾值準則，建立了嚴格的理論，給出了具有普適性的有效閾值準則，並將這些結果擴展到一大類靜態的近似稀疏逆預處理方法。這是稀疏近似逆預處理技術關於閾值準則選取的實質性突破工作。（9）建立了整體最小二乘問題的條件數的緊緻上下界，這些界表達式比文獻中的結果更精確，涉及的量更少，能更有效地計算。
