可逆線性變換

可逆線性變換(invertible linear transformation)亦稱非退化線性變換，或滿秩線性變換，是一種特殊的線性變換，設V是數域P上的線性空間，σ是V的線性變換，若存在V的變換τ，使στ=τσ=I，其中I為單位變換，則σ稱為可逆線性變換，τ稱為σ的逆變換，V上的可逆線性變換σ的逆變換仍為V的線性變換，且是惟一的，記為σ^-1。線性空間的可逆線性變換的集合，對於變換的乘法構成乘法群，稱為非奇異線性變換群。

基本介紹

• 中文名：可逆線性變換
• 外文名：invertible linear transformation
• 別稱：非退化線性變換，滿秩線性變換
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：高等代數(線性變換)

可逆線性變換的定義

設σ是線性空間V的一個線性變換，如果存在V的另一個變換τ，使得

則稱線性變換σ為可逆的，並稱τ為σ的逆。

顯然，當σ可逆時，它的逆是唯一的，將σ的唯一逆記為σ^-1。

線性變換σ的逆σ^-1也是V的線性變換，稱為σ的逆變換。

當σ是可逆線性變換時，還可以定義σ的負整數次冪σ^-n=(σ^-1)ⁿ，其中n是非負整數。

這樣，對於可逆線性變換σ來說，

其中m，n可以是任意整數。

相關性質及證明

定理1 設σ是線性空間V的一個線性變換，稱：

Ker(σ)= {α∈V|σ(α)=0}

為σ的核；稱：

Im(σ) =σ(V) = {σ(α)|α∈V}

為σ的像(或值域)，Ker(σ)與σ(V)都是V的子空間，且：

dim Ker(σ) + dimσ(V) =n.

證明：容易看出Ker(σ)是V的子空間。現在證明:σ(V)也是V的子空間。

設ξ，η是σ( V)的任意兩個向量，那么總存在α,β∈V，使得ξ=σ(α)，η=σ(β)，因為σ是V的線性變換，於是對於任意a,b∈F，有：

aξ+bη=aσ(α) +bσ(β) =σ(aα+bβ)∈σ(V)，

這就證明了σ(V)也是V的一個子空間。

設dim Ker(σ) =r,在Ker(σ)中取一個基{α₁;...,α_r}，它可以擴充為V的一個基{α₁;...,α_r,α_r+1;...,α_n}，則：

{σ(α_r+1),...,σ(α_n)}

是像空間σ(V)的一個基。事實上，顯然有：

σ(V)=span{σ(α₁),.. ,σ(α_r),σ(α_r+1),.. ,σ(α_n)}.

注意到σ(α₁)=σ(α₂)=...=σ(α_r)=0，因此：

σ(V) =span{σ(α_r+1),...,σ(α_n)}.

若 ∈F使得k_r+1σ(α_r+1)+...+k_nσ(α_n)=0，則：

σ(k_r+1α_r+1+...+k_nα_n)=0,

於是，k_r+1α_r+1+...+k_nα_n∈Ker(σ)，因此存在 使得：

k_r+1α_r+1+...+k_nα_n=k₁α₁+...+k_nα_n

又α₁;...,α_r,α_r+1;...,α_n線性無關，故k₁=...=k_r=k_r+1=...=k_n=0，由此可見:σ(α_r+1),...,σ(α_n)線性無關，因此σ(α_r+1),...,σ(α_n)組成σ(V)的一個基，並且dimσ(V) =n-r，故dim Ker(σ) + dimσ(V) =n。

怎樣來判別一個線性變換是否可逆呢?一般來說，一個變換可逆的充分必要條件是這個變換既是單射又是滿射。但是，從定理1出發，可以得到有限維線性空間上的線性變換具有一個很好的性質。

推論1 n維線性空間V.上的線性變換σ是單射的充分必要條件是σ是滿射。

證明顯然，線性變換σ是單射的充分必要條件為Ker(σ)= {0}，而：

Ker(σ)={0} dim Ker(σ)=0 dimσ(V)=n σ(V)=V，

因此，線性變換σ是單射的充分必要條件是σ是滿射。

對於線性空間V和W之間的線性映射σ，同樣可以引進核Ker(σ)與σ(V)像的概念，並且可以證明:Ker(σ)是V的子空間，σ(V)是W的子空間