非奇異線性變換

非奇異線性變換(nonsingular linear transfor-mation)是一類重要的線性變換。設V是域P上的線性空間，σ∈HomP(V，V)，若存在λ∈HomP(V，V)，使λσ=E(單位線性變換)，則稱σ為非奇異線性變換；否則，稱為奇異線性變換。經過非退化的線性替換，新二次型的矩陣與原二次型的矩陣是契約的。

基本介紹

• 中文名：非奇異線性變換
• 外文名：nonsingular linear transfor-mation
• 本質：線性變換
• 對應：奇異線性變換
• 別名：非退化線性變換
• 學科：數學

一般定義

定義1.1 設V是域P上的線性空間，σ∈Hom_P(V，V)，若存在λ∈Hom_P(V，V)，使λσ=E(單位線性變換)，則稱σ為非奇異線性變換；否則，稱為奇異線性變換。

註：當dim V=n時，非奇異線性變換亦稱為非退化線性變換，或滿秩線性變換，或正則線性變換。在dim V=n的條件下，σ是可逆的充分必要條件為σ是非奇異的，因此，在有限維的條件下也可以說非奇異線性變換就是可逆線性變換。

線性代數中的定義

定義1.2 設x₁，x₂，...，x_n；y₁，y₂，...，y_n是兩組文字，係數在數域P中的一組關係式：

稱為由x₁，x₂，...，x_n到y₁，y₂，...，y_n的一個線性替換，或簡稱線性替換。如果係數行列式

那么上述線性替換就稱為非退化的。

例如，在解析幾何中，我們看到，當坐標原點與中心重合，一個有心二次曲線的一般方程是

為了便於研究這個二次曲線的幾何性質，我們可以選擇適當的角度θ，作轉軸（反時針方向轉軸）

把方程 化成標準方程。

如果把

看成線性替換，那么它就是非退化的，因為

性質

1.因為二次型和它的矩陣是相互唯一決定的，令

故線性替換

可以寫成

2.經過一個非退化的線性替換，二次型還是變成二次型。具體地：設

是一個二次型，作非退化線性替換

我們可以得到一個的二次型

故有

容易看出，矩陣

也是對稱的，這就是前後兩個二次型的關係。

3.經過非退化的線性替換，新二次型的矩陣與原二次型的矩陣是契約的。