合痕

合痕(isotopy)是代數學的基本概念，指兩個非結合代數之間的三個可逆線性變換滿足的一種特殊的保乘關係。設(A，+，·)和(A′，#，*)都是域F上的非結合代數，f，g，h是(A，+)到(A′，#)的三個線性變換，若對任意x，y∈A恆有f(x·y)=g(x)*h(y)，則稱(f，g，h)是A到A′的一個合痕。此時稱A是A′的(f，g，h)合痕，這個概念首先由阿爾貝特(A.A.Albert)於1942年給出。

基本介紹

• 中文名：合痕
• 外文名：isotopy
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：非結合環與非結合代數
• 相關概念：同倫，扭結，同胚等

基本介紹

同倫稱為一個合痕，如果對於中的任一，是一個同胚。

在合痕中，當改變時，我們認為此合痕，是定義在X上的一個單參數的同胚族。

例1 用來定義。當時，F正好是上的恆等映射。但當從0增加到1時，在中的每個以原點為起點的向量，在長度上伸長到這個合痕的端點，那時它們的長度全都為原來的兩倍(見圖1)。

圖1 合痕F把每個向量的長度都伸長到兩倍

我們可以認為，一個合痕是當空間X的拓撲不改變時它的一個變形。我們感興趣的是，一個空間Y在另一個空間X的兩個嵌入，是否能通過包含它們的空間X的一個合痕相互變形呢?在這方面，我們來確定兩個嵌入等價究竟意味著什麼。

定義 設和是空間Y到空間X上的嵌入，那么，如果存在一個合痕，使得對於任一，成立，且對於任一，成立，我們就稱與是環繞空間合痕的。空間X稱為環繞空間，而函式F則稱為環繞空間合痕。

如果是一個環繞空間合痕，那么，當限制，F正好是X上的恆等映射，它使X中的所有點保持不動。但當限制t=1時，F把在下的一個點的象，映成此點在g下之象的同一位置，環繞空間合痕使整個空間X以連續方式變形，使得函式最終變形為函式g。

還應注意，雖然條件與看來是十分不同的，但第一個條件蘊涵。所以我們可以認為這些條件蘊涵：在時刻t=0，F把映成，而在時刻t=1，F把映成。

儘管環繞空間合痕的定義說起來有些羅嗦，但它卻抓住了橡皮膜幾何學的實質。當環繞空間變形時，第一個嵌入的象，緩慢地變形為第二個嵌入的象。請注意，由定義可知，第一個嵌入的象，與第二個嵌入的象同胚。Y的一個同胚拷貝，在每個階段於環繞空間合痕中出現，而我們就會看到它從初始形態到最後形態的一段影片(見圖2)。環繞空間合痕，定義了在空間Y到空間X的兩個嵌入之間的一種等價關係。

圖2

相關概念介紹

同倫

令X，Y是兩個空間，是單位區間，兩個映射是同倫的(記作：)，如果存在一個連續映射使得。直觀上，可以把t看成時間參數，是從映射到映射的一個連續變形，使得是時的形變位置。也可以說，，是指存在一個連續的單參數映射族，它以為初始位置，以為終止位置。

扭結

扭結(knot)亦稱環繞，是幾何拓撲學的一個重要概念。設K是拓撲空間X的一個子集，若K同胚於p維球面，則稱K為X中的一個扭結。一般地，X的一個子集K，若K同胚於r個球面的無交並，則稱為X中的一個環繞。所以扭結是環繞的特殊情形，對於X中的兩個扭結或環繞，若存在同胚，使得，即，則稱為等價的。扭結或環繞的等價類稱為扭結型或環繞型。實際上，除了有特別的說明以外，在這些問題中，一般總假定X為n維歐氏空間，n維球面或n維單形，在這裡限制X為3維歐氏空間，K為，即此處所指的扭結是中的一條簡單閉曲線。

對於的一個自同胚h，若存在倫移，使得每個為同胚，為恆等映射，，則稱為合痕於恆等映射。對於中的扭結若存在的合痕，使得，則稱有相同的合痕型。合痕與等價是兩個不同的概念。例如，圖中所列的兩個三瓣扭結是等價的，但不具有相同的合痕型，因為關於其中某張平面的反射，可把變為它的鏡面像，但不能通過連續的變形把變為。到自身的同胚可以惟一地擴張為到自身的同胚，因此在討論扭結問題時，也可用代替，於是可知任意同胚合痕於恆等同胚若且唯若h為保向同胚。中平面上的單位圓周所表示的扭結及其扭結型稱為平凡的或不打結的，否則稱為打結的。在扭結的等價之下，可用中由有限條邊構成的多邊形來表示的扭結稱為溫良的，否則稱為野生的。對於可用多邊形表示的溫良扭結K，可取中的平面以及到π的投影p，使得：

圖3

1.的多重點只限於二重點，並且只有有限個。

2.K的頂點不映為的二重點，這樣的一個投影稱為K的正則投影。

若兩個紐結處於互不相繞的位置，則可以通過兩段小弧把它們互相連結起來，如同上圖右，這樣形成的一個新扭結稱為扭結的結合，結合的操作稱為扭結的乘法。於是全體扭結型在這種乘法之下成為一個交換半群。一個扭結型稱為素的，若不能再用非平凡扭結將它分解。所以在此扭結型半群之中，每一個扭結型能惟一地表示成有限個素扭結型的乘積。

在20世紀30年代之前，扭結理論主要以美國的亞歷山大(Alexander，J.W.)以及德國的賴德邁斯特(Reidemeister，K.W.F.)、賽費特(Seifert，H.K.I.)為代表發展起來的，40年代幾乎沒有太多進展.以後，美國的福克斯(Fox，R.H.)在這方面的貢獻較多。進入20世紀80年代以來，一些著名數學家如韋吞(Witten，E.)等投入這方面研究，他把扭結理論與量子場聯繫起來，得到了瓊斯-韋吞(Jones-Witten)的不變數。高登(Gordon，C.M.)與呂克(Luecker，J.)證明了中的一個扭結K由它的補決定。里可里西(Lickorish)利用考夫曼(Kauffmen)括弧多項式構造了3維流形不變數，並描述此不變數與的關係。