扭結

紐結理論是拓撲學的一個分支，研究紐結的拓撲學特性。在拓撲學中，結理論是數學結的研究。雖然靈感來自結其出現在鞋帶和繩子日常生活中，數學家的結不同之處在於兩端連線在一起，從而它不能被撤銷。在數學語言，一個結是嵌入一個的一圈在3維歐幾里得空間。

基本介紹

• 中文名：扭結
• 外文名：Knot theory
• 類型：幾何直觀對象
• 所屬：數學
• 鏈環：若干個扭結套在一起

歷史

結繩紀事由來遠古，但從數學上研究紐結，始於德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯，高斯研究電磁場的性質，認為與紐結有關。1867年凱爾文勳爵認為原子是以太漩渦的紐結，可用不同種類的紐結將原子分類，並用來解釋為何原子的吸收光譜呈現不連續的現象。

圖1.較為複雜的紐結

蘇格蘭理論物理學家彼德·G·泰特用多年時間研究出紐結分類表，相信他正在創造一個元素表。1887年邁克耳孫-莫雷實驗證明“以太”不存在，“以太漩渦論”成為過時理論。十九世紀末葉，產生拓撲學，紐結論再此成為熱點研究課題。紐結論的套用包括弦理論、DNA複製和統計力學等領域。

Reidemeister 移動

1927年，J.W. 亞歷山大和G.B. Briggs，以及 Kurt Reidemeister 獨立地提出了如何判定兩個結是相同的方法：如果由一個結可以透過幾種基本的動作變成另一個結，它們便是相等的。這些運算稱為Reidemeister 移動。

1. 在兩個方向扭曲和解開。
   
2. 將一條鏈完全移到另一條鏈上。
   
3. 完全在一個十字路口上或下面移動一根線。
   

圖2.Reidemeister 移動

高階紐結圖

一個維球，只可以在維空間扭成結，而且必定能在維空間解結。

紐結連通和

兩個結可以“相加”。考慮兩個結的平面投影，假設投影不相交。在平面找出一個長方形，使得每個結都有一條線在長方形內，結的邊靠近長方形的對邊，而且長方形其他部分沒有和結相交。將兩線剪開，上面的部分和上面的部分連起，下面的和下面的連起。這運算稱為連通和。

圖3.用三維模型展示扭結

這個在結的運算，形成了一個交換的么半群，且有素分解：如果一個結K只可以寫作K+0=K或0+K=K，K便是素紐結。（0表示沒有扭過的結。）