切標架叢

一個光滑流形 M 的切標架叢（或簡稱標架叢）是與 M 的切叢相伴的標架叢。 M 的標架叢通常記作 FM 或 GL(M) 而不是 F(TM)。如果 M 是 n-維的則切叢的秩為 n，所以 M 的標架叢是 M 上一個主 GLn(R) 叢。

基本介紹

• 中文名：切標架叢
• 外文名：Tangent frame bundle
• 領域：數學

標架叢

數學中，標架叢（Frame bundle）是一個與任何向量叢E相伴的主叢。F(E) 在一點x的纖維是E_x的所有有序基或曰標架。一般線性群通過基變更自然作用在 F(E) 上，給出標架叢一個主 GL_k(R)-叢結構，這裡k是E的秩。

一個光滑流形的標架叢是與其切叢相伴的叢。因此它有經常稱為切標架叢（tangent frame bundle）。

定義與構造

設E→X是拓撲空間X上一個k階實向量叢。在點x∈X的一個標架是向量空間E_x的一個有序基。等價地，一個標架可以視為線性同構

在x的所有標架集合，記作F_x，所有可逆k×k矩陣組成的一般線性群GL_k(R) 在它上面有一個自然右作用：一個群元素g∈ GL_k(R) 通過複合作用在p的標架上給出一個新標架

GL_k(R) 在F_x上這個作用是自由傳遞的（這是標準線性代數結論：存在惟一可逆線性變換將一個基變為另一個）。作為一個拓撲空間F_x同胚於 GL_k(R)，但它沒有群結構，因為沒有“優先的標架”。空間F_x稱為一個 GL_k(R)-torsor。

E的標架叢，記作 F(E) 或 F_GL(E)，是所有F_x的不交並：

F(E) 中每個點是一個二元組 (x,p)，其中x是X中一點而p是x處一個標架。存在自然投影π: F(E) →X將 (x,p) 送到x。群 GL_k(R) 如上右作用在 F(E) 上。這個作用顯然是自由的且軌道恰是π的纖維。

標架叢 F(E) 可給一個自然的拓撲，其叢結構由E確定。設 (U_i,φ_i) 是E的一個局部平凡化。則對每個x∈U_i有一個線性同構φ_i,x:E_x→R。這個數據決定了一個雙射

由下式給出

有了這個雙射後，每個π(U_i) 可賦予U_i× GL_k(R) 的拓撲。則 F(E) 上的拓撲是由包含映射π(U_i) → F(E) 余誘導的最終拓撲。

有了上面所有數據後，標架叢 F(E) 成為X上一個結構群為 GL_k(R) 的主纖維叢，具有局部平凡化 ({U_i}, {ψ_i})，可以驗證 F(E) 的轉移函式與E的相同。

上面所有工作對光滑範疇也成立：如果E是光滑流形M上一個光滑向量叢，則E的標架叢可賦予M上光滑主叢結構。

切標架叢

一個光滑流形M的切標架叢（或簡稱標架叢）是與M的切叢相伴的標架叢。M的標架叢通常記作 FM或 GL(M) 而不是 F(TM)。如果M是n-維的則切叢的秩為n，所以M的標架叢是M上一個主 GL_n(R) 叢。

光滑標架

M的標架叢的局部截面稱為M上的光滑標架。主叢橫截定理說M中任何有光滑標架的開集U上標架叢是平凡的。給定一個光滑標架s:U→ FU，平凡化ψ: FU→U× GL_n(R) 由

給出，這裡p是x處一個標架。從而一個流形是可平行化的若且唯若M的標架叢有一個整體截面。

因為M的切叢在M的任何坐標鄰域是可平凡化的，故標架叢也是。事實上，給定任何坐標鄰域U帶有坐標 (x,…,x)，坐標向量場

定義了U上一個光滑標架。在標架叢上工作的一個好處是它們允許我們處理標架而不是坐標架；我們可選取對手中問題合適的標架。這有時稱為活動標架法。

焊接形式

流形M的標架叢是一類特殊的主叢，它的幾何本質上繫於M的幾何。這種關係可用 FM上一個稱之為焊接形式（或稱基本或重言1-形式）向量值 1-形式表示。設x是流形M上一點，p是x處一個標架，故

是R與M在x處切叢的一個線性同構。FM的焊接形式是一個R-值 1-形式θ，定義為

這裡ξ與 FM相切於 (x,p)，p:T_xM→R是標架映射的逆，dπ是投影映射π: FM→M的微分。焊接形式是水平的，它在與π的纖維相切的向量上為零，以及右等變，即

這裡R_g是由g∈ GL_n(R) 的左平移。FM上這樣性質的形式稱為基本或張量性形式。這樣的形式與TM-值 1-形式一一對應，從而與M上光滑叢映射TM→TM一一對應。這樣看來，θ恰好是TM上恆等映射。

G-結構

參見：G-結構

如果光滑流形M有額外的結構，通常自然地考慮M全標架叢的一個適應於給定結構的子叢。例如，如果M是一個黎曼流形，我們從上面看到自然地去考慮M的標準正交標架叢。標準正交標架叢只不過是 F_GL(M) 的結構群到正交群 O(n) 的約化。

一般地，如果M是一個光滑n-流形，G是 GL_n(R) 的一個子李群，我們定義M上一個G-結構為 F_GL(M) 結構群到G的一個約化。具體地說，這是M上一個主G-叢 F_G(M)，以及M上一個G-等變叢映射

在這種語言中，M上一個黎曼度量給出M上一個 O(n)-結構。下面是其它一些例子。

• 每個定向流形有一個定向標架，這就是M上一個 GL_n(R)-結構。
  
• M上一個體積形式確定了M上一個 SL_n(R)-結構。
  
• 一個 2n-維辛流形有一個自然的 Sp_2n(R)-結構。
  
• 一個 2n-維復或殆複流形有一個自然的 GL_n(C)-結構。
  

在某些例子中，M上一個G-結構惟一確定了M上對應的結構。例如M上一個 SL_n(R)-結構確定了M上一個體積形式。但是，在某些情形，比如辛與複流形，需要一個可積性條件。M上一個 Sp_2n(R)-結構惟一確定了M上一個非退化2-形式，但對M是辛的，這個 2-形式必須也是閉的。