參數變分系統的Lipschitz穩定性與最佳化問題

《參數變分系統的Lipschitz穩定性與最佳化問題》是依託哈爾濱師範大學，由宋文擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：參數變分系統的Lipschitz穩定性與最佳化問題
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：宋文
• 依託單位：哈爾濱師範大學

項目摘要

本項目旨在以變分分析為工具研究變分不等式系統的穩定性和敏感性分析問題,並套用於最佳化問題。通過對Banach空間中廣義多面體集（即有限多個廣義凸多面體的並集）進行二階分析，即利用廣義凸多面體集的原始數據給出其法錐 以及法錐映射的Mordukhovich co-導數和餘切導數的表示，進而得到Banach空間上廣義凸多面體集上的變分不等式系統解的Lipschitz穩定性和強Lipschitz穩定性的；將分離結構最佳化問題或帶有均衡約束的規劃問題（MPEC）的一階最優性條件表示成多面體集上的變分不等式系統的形式，進而研究其Lipschitz穩定性； 研究多面體集上的變分不等式系統（或最佳化問題的KKT系統）的敏感性分析問題和分歧問題以及相關的投影算法和漸進點算法的收斂性。

結題摘要

本項目旨在以變分分析為工具研究變分不等式系統的穩定性和敏感性分析問題,並套用於最佳化問題。在自反Banach 空間中，研究了廣義多面體集上參數變分不等式系統的解映射的co-導數的刻畫以及解映射的Lipschitz穩定性,並進一步研究了帶有線性擾動的廣義凸多面體集上的結果。在Banach空間框架下研究具有等式和不等式約束最佳化的分歧問題，給出KKT系統出現分歧且有兩條解曲線的條件。 我們研究了向量最佳化問題的二階孤立局部極小點的二階充分條件; 在無窮維空間中給出了具有分離結構的最佳化問題的必要條件，並套用其研究具有變分不等式約束的最佳化問題的必要條件。 研究了Bregman距離意義下函式的Moreau 包絡函式的連續性、可微性和鄰近映射的上半連續性和單值性等基本性質，並將上面的結論推廣到Banach空間上。對複合最佳化問題的增廣拉格朗日對偶問題， 我們利用Moreau包絡函式給出增廣拉格朗日函式的另一種表示，進而利用函式的上圖導數給出了增廣拉格朗日乘子存在的二階必要和充分條件。並將上面結果套用到本徵值凸複合最佳化問題上，給出了增廣Lagrange乘子存在二階必要條件和充分條件。在最佳化和變分不等式的算法方面，我們引入了變分不等式問題解集是次弱 sharp 極小的定義， 由此研究了鄰近點算法的性質，並給出了鄰近點算法有限終止的條件；藉助於廣義鄰近點運算元我們給出求解一類廣義變分不等式的疊代算法，並證明了該算法在一致凸和一致光滑Banach空間的收斂性；我們考慮了求解無約束最佳化問題的一個新的共軛梯度算法，這種方法滿足充分下降條件，證明其在Wolfe線搜尋條件下是全局收斂的。 在賦范空間，通過引入 Banach 運算元族的概念，將著名的De Marr’s 不動點定理推廣到了非交換情形。套用這個結果，利用一個與以往不同的方法，我們解決了凸集上的不變逼近的公共不動點問題。我們舉出一個反例，說明09年 Mathematical Programming 上 A. Coulibaly, J. -P. Crouzeix的文章給出的凸集條件數的刻畫公式是錯誤的。