向量最佳化問題中集值映射的連續性和微分性研究

《向量最佳化問題中集值映射的連續性和微分性研究》是依託重慶大學，由李聲傑擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：向量最佳化問題中集值映射的連續性和微分性研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：李聲傑
• 依託單位：重慶大學

中文摘要

向量最佳化問題是最最佳化領域中重要的數學模型。本課題擬研究向量最佳化問題以及相關問題解集映射的連續性和微分性。研究擾動向量最佳化問題以及相關問題擾動映射和解集映射的半連續性；在解集是一般集合的條件下，研究向量最佳化問題以及相關問題解集映射的Lipschitz連續性以及H?lder連續性；提出更加合理的集值映射導數概念，尤其是二階和高價導數概念；研究向量最佳化問題有效點擾動映射、真有效點擾動映射和弱有效點擾動映射的相依導數、原導數、半導數以及上導數的具體計算公式以及同目標空間中可行集映射所相對應的導數的有效點集、真有效點集和弱有效點集之間的包含關係；研究帶上下容量限制向量交通網路系統模型的均衡原理以及與向量和標量變分不等式的關係。並藉助於非線性標量函式和變分不等式的算法，得到具體可行算法。本課題研究不僅具有重要的理論意義，而且能夠廣泛套用到我國經濟系統、通訊系統和國防系統中，為決策分析提供參考。

結題摘要

向量最佳化問題與向量平衡問題是最最佳化的重要研究領域之一，該項目按照原計畫研究內容、研究目標以及擬解決的關鍵問題，對向量最佳化問題與向量平衡問題的穩定性、靈敏性、最優性條件、對偶、間隙函式以及誤差界進行了深入的研究，在擾動向量最佳化以及相關問題穩定性研究方面，在保證解集映射一般是集值映射的前提下，通過引入適當的假設條件，得到解集映射的上、下半連續、Hölder連續性以及Lipschitz連續性，這些創新性研究成果完善了該領域的研究；在向量最佳化以及相關問題靈敏性與微分性研究方面，由於集值映射沒有泰勒展開式，這使得集值最佳化問題的研究變得異常困難，怎樣引人更加合理的集值映射的廣義微分性概念，一直是人們研究的熱點和難點，我們通過引入集值映射不同的微分性概念，研究了這些導數的具體計算公式，研究了研究了解映射和擾動映射的各種導數與先求對應的導數再求最小的集值映射之間的關係。同時，我們也研究了向量最佳化以及相關問題的最優性條件；在多指標交通網路系統均衡問題的研究方面，研究了帶上下容量限制向量交通網路系統模型，考慮了多條路共用一段路的情況，通過引入兩種不同的向量網路平衡原理，分別討論了相對應的平衡流同向量變分不等式或者標量變分不等式的解之間等價的關係；在像空間分析方法研究方面，由於像空間分析方法是研究非凸非光滑最佳化問題的重要手段之一，藉助此方法，我們提出了約束最佳化問題的一種一致對偶模型，討論了原問題與對偶問題之間存在零對偶間隙的充分必要條件,說明了現有的三種對偶都是此對偶模型的特殊情況,我們也討論了向量變分不等式問題的擇一性定理、鞍點條件、充分必要最優性條件以及它的間隙函式，藉助此間隙函式也研究了向量變分不等式問題的誤差界；在集值映射的極大極小問題的研究中，首先我們研究了標量值的集值映射的極大極小定理和錐鞍點存在性定理，然後在不同條件下得到了量值集值映射的錐松鞍點的存在性定理，並描述了其錐松鞍點集的結構。也得到了向量值集值映射廣義的極大極小定理；在平衡問題的對偶問題的研究方面，藉助Fenchel對偶函式，引出了廣義Ky Fan不等式問題的對偶，在適當的條件下，證明了對偶問題與原問題之間的弱對偶定理與強對偶定理。然後藉助這些結論，討論了廣義Ky Fan不等式問題的Farkas型結果；在約束與無約束規劃問題的算法研究方面，研究了求解無約束最佳化問題的共軛梯度法以及帶約束非凸最佳化問題的數值算法。