次微分表示理論與空間幾何特徵研究

《次微分表示理論與空間幾何特徵研究》是何青海為項目負責人，雲南大學為依託單位的地區科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：次微分表示理論與空間幾何特徵研究
• 項目類別：地區科學基金項目
• 項目負責人：何青海
• 依託單位：雲南大學

項目摘要

運用拓撲線性空間、泛函分析的理論，結合近年發展起來的無窮維變分分析方法和技巧，研究次微分表示理論及Banach空間幾何的新特徵，進而研究無窮維齊次最佳化問題和次可微意義下隱函式的存在性問題。首先對幾類齊次次微分建立廣義歐拉定理，架起次微分的表示與空間幾何問題之間的橋樑，推導次可微性、廣義幾何性質、次微分映射和支撐映射之間的關係和性質，獲得Banach空間幾何的新特徵。然後利用次微分映射的性質，討論支撐映射在稠密集上的（半）連續性，研究弱Asplund空間的幾何性質，探索解決弱Asplund難題的途徑。最後套用廣義歐拉定理，給出無窮維齊次最佳化問題的最優條件；運用由齊次次微分確定的相依切錐代替超切平面，證明相應的隱函式存在定理並拓展其套用。這些研究無論在理論上還是在套用方面都將產生深遠的影響，將在泛函分析與變分分析交叉的新研究方向上作出具有先進水平的工作，在國際核心刊物發表論文5－8篇。

結題摘要

本項目套用非光滑分析、變分分析及非光滑向量最佳化的基本理論，居於次微分的表示理論和Banach空間的幾何特徵，重點做了下面幾方面的研究工作： 1. 分別在一般Banach空間和Asplund空間上，研究一類帶有集約束的次光滑廣義方程具有度量次正則性和靜態性質的充要條件，並給出了該類廣義方程具有強度量次正則性的一些等價刻畫。 2. 在一般Banach空間中，研究了圖為有限個廣義多面體之並的多值映射的解集和值集的結構和連通性，獲得了一些該類多值映射的解集和值集的結構和連通性定理。我們把Arrow, Barankin, Zheng 和Yang等的有關結論推廣到更為一般的情形。 3. 研究了閉凸多值映射的靜態性質，藉助切錐與切導數建立了閉凸多值映射具有靜態性質的Primal特徵；作為套用，所建立的特徵定理被用於有限多個閉凸集線性正則性的研究，得到此類情形具有線性正則性的等價條件。 4. 通過距離函式的Clarke次微分，研究了p一致次光滑(非凸)閉集簇的線性正則性，並利用法錐及G性質建立了此類非凸閉集簇具有線性正則性的等價條件。 5. 研究了Mosco收斂閉集列以及所對應法錐的收斂。作為套用，針對Mosco epi-收斂函式列，我們建立了函式所對應次微分的收斂，從而推廣並改進了現有關於Mosco收斂函式列次微分收斂的結果。 6. 誤差界的擾動穩定性是最佳化理論中的一個難點問題。本項目在Ngai, Kruger和Thera 所作的關於凸系統誤差界穩定性結果基礎上，主要研究了擬次光滑(非凸)不等式誤差界的擾動穩定性，並建立了此類非凸不等式誤差界具有擾動穩定性的特徵定理。 7. 利用有限位空間中向量值函式的Clarke次微分的表示定理，建立了一類向量值函式的高階次微分形式的泰勒公式，作為套用，獲得了向量最佳化問題中的高階充分性最佳化條件。 8. 最後，我們還研究了一類非線性方程的解的存在性。 以上全部研究結果共發表專業論文9篇，其中8篇在國際知名SCI刊物上發表(3篇頂級SCI刊物上)，1篇在國家級核心中文刊物上發表。