《約束非光滑非凸最佳化問題算法的理論研究與套用》是依託哈爾濱工業大學，由邊偉擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：約束非光滑非凸最佳化問題算法的理論研究與套用
- 依託單位：哈爾濱工業大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：邊偉
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究規模較大或結構較複雜以致無法給出可行域投影運算元和精確罰函式的最佳化模型。在不需給出精確罰參數的情況下，基於罰函式法與投影法處理約束條件，套用光滑技巧克服目標函式與約束函式不可微的困難，構造可基於電路和MATLAB數值實現的微分方程連續算法，在無法構造有效的連續算法時，利用無約束光滑最佳化的經典算法與步長搜尋理論構造有效的離散算法。套用非光滑分析，數值理論，Lyapunov方法和Kurdyka- ?ojasiewicz不等式分析所構造算法的收斂性及收斂速率。基於已有的光滑化技術，討論新的光滑化技巧以擴大本項目所研究問題的套用領域，並將所構造的算法套用到分片光滑性醫學圖像恢復，矩陣條件數分析和經濟平衡問題，討論所構造的算法對一些實際問題的適用程度及運算效果。.本項目的研究不僅對最佳化問題數值算法的構造有重要意義；還將擴大最佳化問題在現實問題中的套用範疇，同時加深光滑化技巧在最佳化中的重要作用。
結題摘要
本項目以非光滑分析、最最佳化理論、Lyapunov方法為基礎，從最佳化問題的疊代算法與動態算法的設計與分析入手，重點研究了以下方面的內容：（1）利用粘性正則項，分別研究了歐幾里得空間與無窮維Hilbert空間中非光滑凸最佳化問題的動態算法設計；（2）基於光滑逼近理論，研究了歐幾里得空間非光滑非凸但局部Lipschitz最佳化問題的動態算法建模與分析，其中，特別研究偽凸最佳化問題的動態算法設計；（3）基於光滑逼近理論、二次正則化方法、內點法，研究了歐幾里得空間幾類非Lipschitz最佳化問題的動態算法和疊代算法設計與分析，特別分析了疊代算法的最壞複雜性；（4）基於不動點理論，研究幾類常用於求解最佳化問題微分包含系統的動力學性質。 本項目獲得了以下有意義的結果：（1）建立了非自治系統求解一類約束非光滑凸最佳化問題的最優解，既克服了目前許多論文中對可行域的假設，又避免了罰參數的估計，且具有全局吸引性；（2）在Hilbert空間框架下，建立了非光滑凸最佳化問題的動態求解算法，在一定條件下，證明了軌道的強收斂性，改進了Opial引理；（3）對一類約束非Lipschitz最佳化問題構造動態算法求解其穩定點，並將其套用於盲源分離、圖像恢復、變分選擇等問題中；（4）分別對無約束和約束非Lipschitz最佳化問題，首次建立了具有最壞複雜性的疊代算法，且給出二階內點算法，不僅提高了一階算法的最壞複雜性且收斂於滿足更強最佳化條件的穩定點；（5）對幾類微分包含系統，建立其平衡點的存在性、唯一性、穩定性及其周期解的存在性理論，為最佳化算法設計提供了一定的技術支持。 本項目的完成，一方面，豐富和發展了非光滑最佳化問題求解的理論與算法研究，另一方面，為最佳化問題在工程科學中的套用提供了理論支持。
