《基於泛函空間和微分包含的非光滑變分與最佳化》是依託哈爾濱工業大學，由薛小平擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：基於泛函空間和微分包含的非光滑變分與最佳化
- 依託單位：哈爾濱工業大學
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：薛小平
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目以微分包含理論為中心，結合泛函空間理論和非線性分析方法，重點研究（1）可積函式空間及其上超空間的幾何拓撲性質；（2）非光滑變分原理及其對偏微分包含多解和定變號解存在性的套用；（3）無窮維廣義次梯度系統解軌道的漸進性分析及有窮維微分包含在帶有約束非光滑非凸最佳化中的套用。（4）有限維和無窮維混合系統魯棒漸近穩定性的Lie代數方法. 本項目的研究，不僅對泛函空間及非光滑分析理論有重要價值；還將加深對偏微分包含所描述的物理過程的認識，同時將為非光滑非凸最佳化計算提供新的有效途徑。
結題摘要
本項目以泛函分析空間理論為基礎，以微分包含，非光滑分析與集值分析為工具，重點研究了以下方面的內容：(1)利用非光滑變分原理及臨界點理論，研究了變指數偏微分方程多解的存在性及Hamilton系統非平凡周期解的存在性；(2)在有限維及無窮維兩種情況下，研究了耗散系統解的漸近行為，並套用於求解最佳化問題的算法設計；(3)研究了切換系統的穩定性分析，並套用於一類離散系統的同步分析；(4)基於空間理論及非光滑分析，研究了不確定性系統初邊值問題解的存在性。 本項目獲得了以下有意義的結果：(1)建立了非光滑位勢情況下P(x)-拉普拉斯方程多重解的存在性定理；(2)在Hilbert空間框架下，建立了非光滑凸最佳化問題的動態求解算法，在一定條件下，證明了軌道的強收斂性，改進了Opial引理；(3)建立了線性切換系統具有魯棒穩定性的Lie代數判據；(4)給出了離散Cucker-Smale模型同步的充要條件，改進了Cucker-Smale的原始工作和Shen的工作；(5)基於Krein空間理論及再生核理論，建立了基於先驗知識的核函式構造理論，並套用於機器學習中的分類問題。 本項目的完成，一方面，豐富和發展了非線性分析和非光滑分析的理論和方法，揭示了耗散系統具有良好的收斂特性及複雜系統具有多樣化的動力學特性；另一方面，為控制方法和最最佳化設計在工程科學中的套用提供了理論支持。
