分片光滑曲面

分片光滑曲面(piecewise smooth surface)是由若干塊光滑曲面拼接的曲面，設D⊂R²是一區域，若D=D₁∪D₂∪…∪D_n，而D₁，D₂，…，D_n是R²中沒有公共內點的區域，並且存在連續的φ：D→R³，使每個集S_i=φ(D_i)是光滑曲面，則集合φ(D)稱為分片光滑曲面，這時有S=S₁∪S₂∪…∪Sn，延伸至無窮遠的曲面，若任何有界部分是分片光滑的，則曲面稱為分片光滑的。

基本介紹

• 中文名：分片光滑曲面
• 外文名：piecewise smooth surface
• 所屬學科：高等數學
• 簡介：由若干塊光滑曲面拼接的曲面

基本介紹

給定曲面

如果函式f_i(u,v)是連續可微的，並且雅可比行列式∂(f₁,f₂)/∂(u,v)，∂(f₂,f₃)/∂(u,v)，∂(f₃,f₁)/∂(u,v)不同時為0，則這一曲面稱為光滑曲面(smooth surface)。如果f_i(u,v)是k次連續可微的，則這一曲面稱為C^k類曲面。如果f_i(u, v)是解析函式，則這一曲面稱為解析曲面。從幾何直觀上看，所謂曲面是光滑的，是指曲面在每點都有切平面，並且切平面的方向隨著曲面上點的連續變動而連續變化，說曲面是分片光滑的，是指曲面是由有限個光滑曲面並起來的。比如球面是光滑曲面，長方體的邊界面則是分片光滑曲面。

分片光滑曲面的面積

若S是由幾塊光滑曲面連線而成的分片光滑曲面，則可在每一光滑曲面塊上運用光滑曲面面積計算公式而後相加。下面介紹光滑曲面的面積計算。

圖1

設S是一塊空間光滑曲面——即具有連續變動的切平面的曲面。S在xy面上的投影是D_xy,dS是S上一小曲面塊(同時表示這個小曲面塊的面積),過dS上任一點M作法線n= {A,B,C},當dS很小時，可以認為它是一塊以n為法線的平面(即S在點M處的切平面上的一塊)。設n與k(z軸上的單位矢量)不垂直(故cos<n,k>≠0)，則dS在xy平面上的投影為一面積元素,依投影定理,有

是n的一個方向餘弦,故

從而

對應於S的不同表示,dS有不同的形式：

1.設S:z= z(x,y)∈C¹(D_xy)，

則S光滑且可取,從而

同理,設S:x=x(y,z)∈C¹(D_yz),則

設S:y= y(z,x)∈C¹(D_zx),則

2.設S由參數方程

給出，它們都有對u,v的一階連續偏導數,且

不全為零,這時S光滑(所說的光滑曲面,均指這樣的曲面)，且可取n={A,B,C},又由二重積分的變數代換公式可知

代人(4)式可得

把整個曲面表示為許多這樣的小曲面塊之並,每個小曲面塊的面積均用相應切平面塊的面積代替,並把整塊曲面的面積S認做這些小曲面塊面積之和當各個小曲面塊直徑的最大值趨於零時的極限,利用微元素法的思想可得曲面面積計算法,即分別把(5)~(8)式代人公式

中的dS，再化為二重積分，就得到下面的若干公式:

若S是由幾塊光滑曲面連線而成的分片光滑曲面，則可在每一光滑曲面塊上運用上述公式而後相加。