切平面

在一定條件下，過曲面Σ上的某一點M的曲線有無數多條，每一條曲線在點M處有一條切線，在一定的條件下這些切線位於同一平面，稱這個平面為曲面Σ在點M處的切平面（tangent plane）。點M叫做切點。

基本介紹

• 中文名：切平面
• 外文名：tangent plane
• 拼音：qiē píng miàn 
• 領域：幾何

性質

曲面Σ上過點M的所有曲線在點M處的切線都位於曲面Σ在切點M處的切平面。

證明

設正則參數曲S的方程為 ， 是曲面S上點的曲紋坐標，因此曲面S上的任意曲線L可以用參數方程 給出，將其視為 中的曲線，則其方程為 。

球面的切平面

顯然，根據定義， 都是曲面S的切向量，假定P是曲線上對應t=0的點，因此曲面S在點P的切向量是

這表明曲面S在P點的切向量為，是，的線性組合，其分量恰好是，。反過來，的任意一個線性組合必定是曲面的切向量。

實際上，對於任意實數，只要命曲線L為，，其中，，則曲線L在點P的切向量是.

切平面

由於,故是線性無關向量，因此曲面在點P的切向量構成一個二維向量空間，這個空間稱為曲面S在點P的切空間，記做，顯然，構成了空間的一個基底。在空間中經過點P、並且由空間S在點P張成的平面就是曲面S在點P的切平面，顯然，曲面在點P的切平面是與曲面的參數表示無關的概念。

曲面在點的切平面的參數方程是.

舉例

平面的切平面為此平面自身。

錐面的所有切平面都經過一個定點