基本介紹
- 中文名：切點
- 外文名：point of tangency
- 學科：數學
- 定義：通過切線和曲線相交的點
- 性質：曲線的切點斜率等於切線斜率
- 相關名詞：切線
簡介,歷史,曲線的切線,分析方法,直觀描述,嚴格描述,
簡介
在幾何學中，在給定點處的平面曲線的切線是在該點處“剛好接觸”曲線的直線。萊布尼茲將其定義為通過曲線上一對無限封閉的點的線。更準確地說，如果直線通過曲線上的點
，則直線被稱為在曲線上的點
處的曲線
的切線，並且具有斜率
，其中
是
的導數。類似的定義適用於n維歐幾里德空間中的空間曲線。
通過切線和曲線相交的點，稱為切點，切線與曲線“以相同的方向”，因此切點是曲線上的最佳直線近似點。
類似地，在給定點處的表面的切平面是在該點處“正好接觸”表面的平面。切線的概念是微分幾何中最基本的概念之一，並被廣泛推廣。
“切線”一詞來自拉丁語tangere，意為“觸摸”。
歷史
歐幾里德在元素的第三卷（公元前300年）中提到了圓圈的切線，在阿波羅尼奧斯（Apollonius）的工作中（公元前225年），他將切線定義為一條直線，使得其中沒有其他直線可能落在它和曲線之間。
阿基米德（公元前287年至公元前212年）通過考慮沿著曲線移動的點的路徑，發現了阿基米德螺旋線的切線。
這些方法導致了17世紀差異演算的發展。許多人貢獻羅伯瓦爾（Roberval）發現的一種繪製切線的一般方法，通過考慮由移動點描述的曲線，其運動是幾個更簡單的運動的結果。René-Françoisde Sluse和約翰內斯·胡德發現了用於找到切線的代數算法，進一步的發展包括約翰·沃利斯和以撒巴羅的展示，產生了牛頓和戈特弗里德·萊布尼茲的理論。
1828年的切線定義是“一條曲線接觸的線，但是當它產生時，它不會切割”。這箇舊的定義可以防止拐點有任何切線。現代定義與萊布尼茲的定義相當，萊布尼茲將線條定義為曲線上一對無限接近的線。
曲線的切線
通過考慮通過兩個點（A和B）的直線（割線）的順序，可以使切線“接觸”曲線更直觀的概念。當點B近似或趨向於A時，A的切線是極限。切線的存在和唯一性取決於某種類型的數學平滑度，稱為“可微性”。例如，如果兩個圓弧在尖銳點（頂點）相遇，那么在頂點處沒有唯一定義的切線，因為割線行進的限制取決於“點B”接近頂點的方向。
在多數點上，切線觸及曲線而不穿過曲線（儘管可能，當連續的時候，可以在距離切線的其他地方穿過曲線）。切線（此時）與曲線交叉的點稱為拐點。圓形，拋物線形，雙曲線和橢圓形沒有任何拐點，但是更複雜的曲線確實有像立方函式的圖形，它具有正好一個拐點，或正弦曲線，每個時間段有兩個拐點正弦。
相反，可能會發生曲線完全位於通過其上的點的直線的一側，但是該直線不是切線。例如，對於通過三角形的頂點而不與三角形相交的線的情況，由於上述原因，切線不存在。在凸幾何中，這樣的線稱為支撐線。
分析方法
切線是割線的極限。 找到圖形切線的問題是導致17世紀微積分發展的原因之一。 在RenéDescartes的第二本幾何書中，說到了構建曲線切線的問題，“我敢說，這不僅是我所知道的幾何中最有用和最普遍的問題“。
直觀描述
假設曲線給出函式圖：。 為了在點
處找到切線，考慮曲線上的另一個附近點
。 穿過
和
的割線的斜率等於差商
隨著點接近，這對應於使h越來越小，差商應該接近某個值
，這就是在點的切線的斜率。 如果k是已知的，則可以以斜坡形式找到切線的方程：
嚴格描述
為了使上述推理嚴格，必須解釋接近某一極限值的差商的含義。 精確的數學公式是由柯西在19世紀給出的，是基於極限的概念。 假設該圖在處沒有斷裂或尖銳的邊緣，並且在附近既不是垂直的。 那么存在k的唯一值，使得隨著
接近0，差商變得越來越接近，並且如果足夠小，它們之間的距離與的大小相比可以忽略不計。 這導致將圖的切線的斜率定義為函式
的差商的極限。 這個限制是
處的函式f的導數，表示為
。 使用導數，切線的方程可以表示如下：
微積分提供計算由公式給出的函式的導數的規則，例如功率函式，三角函式，指數函式，對數及其各種組合。 因此，所有這些函式的圖形的切線方程以及許多其他方程式可以通過微積分方法找到。
