基本介紹
- 中文名：切線長定理
- 外文名：Theorem of length of tangent
- 對象：圓
- 定義：從圓外一點可以引圓的兩條切線
- 所屬：幾何
- 套用學科：數學
- 推論：圓外切四邊形兩組對邊的和相等
內容,證明,推論,推導過程,推廣（鑽石形）,
內容
證明
以下簡述切線長定理的證明。
定理證明示意圖
定理證明示意圖欲證AC = AB，只需證△ABO≌ △ACO。
如圖，OC、OB為圓的兩條半徑，又∠ABO = ∠ACO=90°
在Rt△ABO和Rt△ACO中
∴Rt△ABO ≌ Rt△ACO（H.L）
∴AB=AC，且∠AOB=∠AOC，且∠OAB=∠OAC。
推論
切線長定理推論：
·圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等；
·從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。
推導過程
觀察、猜想、證明，形成定理
1、切線長的概念． 如圖，P是⊙O外一點，PA，PB是⊙O的兩條切線，我們把線段PA，PB叫做點P到⊙O的切線長．引導學生理解：切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量。
2、觀察 利用電腦變動點P 的位置，觀察圖形的特徵和各量之間的關係．
3、猜想 引導學生直觀判斷，猜想圖中PA是否等於PB． PA=PB．
4、證明猜想，形成定理． 猜想是否正確。需要證明． 組織學生分析證明方法．關鍵是作出輔助線OA，OB，要證明PA=PB．
想一想：根據圖形，你還可以得到什麼結論？ ∠OPA=∠OPB(如圖)等．
由此，引導學生推出切線長定理。
5、歸納： 把前面所學的切線的5條性質與切線長定理一起歸納切線的性質
切線的性質：
(1)切線和圓只有一個公共點；
(2)切線和圓心的距離等於圓的半徑；
(3)切線垂直於經過切點的半徑；(4)經過圓心垂直於切線的直線必過切點；
例題
例題(5)經過切點垂直於切線的直線必過圓心；
6、切線長定理的基本圖形研究
例如這道：如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點．直線OP交⊙O於點D，E，交AB於C
(1)寫出圖中所有的垂直關係； (2)寫出圖中所有的全等三角形； (3)寫出圖中所有的相似三角形； (4)寫出圖中所有的等腰三角形．
說明：對基本圖形的深刻研究和認識是在學習幾何中關鍵，它是靈活套用知識的基礎。
推廣（鑽石形）
如右圖，AB、AC與⊙O相切，連線BC，設BC與AO交於點H。
求證：AO⊥BC
∵AB、AC與⊙O相切
∴∠ABO=∠ACO=90°
在Rt△ABO和Rt△ACO中
∠ABO=∠ACO=90°
BO=CO
AO=AO
∴RtΔABO≌RtΔACO（HL）
∴∠AOB=∠AOC
在△BOH和△COH
∠AOB=∠AOC
BO=CO
OH=OH
∴△BOH≌△COH（S.A.S)
∴∠BHO=∠CHO
∵∠BHO+∠CHO=180°
∴∠CHO=∠BHO=90°
∴BC⊥AO。
（或更簡單，∵RtΔABO≌RtΔACO（HL），易得RtΔABO與RtΔACO關於AO軸對稱。由軸對稱的性質：對稱軸垂直平分連線對應點的線段可得，BC⊥AO。）
