基本介紹
- 中文名：共軛先驗分布
- 外文名：Conjugate prior distributions
- 領域：統計學
共軛先驗,先驗機率,後驗機率,高斯分布,參見,
共軛先驗
在貝葉斯統計中，如果後驗分布與先驗分布屬於同類，則先驗分布與後驗分布被稱為共軛分布，而先驗分布被稱為似然函式的共軛先驗。比如，高斯分布家族在高斯似然函式下與其自身共軛(自共軛)。這個概念，以及"共軛先驗"這個說法，由霍華德·拉法拉和羅伯特·施萊弗爾在他們關於貝葉斯決策理論的工作中提出。類似的概念也曾由喬治·阿爾弗雷德·巴納德獨立提出。
具體地說，就是給定貝葉斯公式
假定似然函式
是已知的，問題就是選取什麼樣的先驗分布
會讓後驗分布與先驗分布具有相同的數學形式。
共軛先驗的好處主要在於代數上的方便性，可以直接給出後驗分布的封閉形式，否則的話只能數值計算。共軛先驗也有助於獲得關於似然函式如何更新先驗分布的直觀印象。
所有指數家族的分布都有共軛先驗。
先驗機率
在貝葉斯統計中，某一不確定量p的先驗機率分布是在考慮"觀測數據"前，能表達p不確定性的機率分布。它旨在描述這個不確定量的不確定程度，而不是這個不確定量的隨機性。這個不確定量可以是一個參數，或者是一個隱含變數（英語：latent variable）。
先驗機率通常是主觀的猜測，為了使計算後驗機率方便，有時候會選擇共軛先驗。如果後驗機率和先驗機率是同一族的，則認為它們是共軛分布，這個先驗機率就是對應於似然函式的共軛先驗。
後驗機率
假設一個學校里有60%男生和40%女生。女生穿褲子的人數和穿裙子的人數相等，所有男生穿褲子。一個人在遠處隨機看到了一個穿褲子的學生。那么這個學生是女生的機率是多少？
使用貝葉斯定理，事件A是看到女生，事件B是看到一個穿褲子的學生。我們所要計算的是P(A|B)。
P(A)是忽略其它因素，看到女生的機率，在這裡是40%
P(A')是忽略其它因素，看到不是女生（即看到男生）的機率，在這裡是60%
P(B|A)是女生穿褲子的機率，在這裡是50%
P(B|A')是男生穿褲子的機率，在這裡是100%
P(B)是忽略其它因素，學生穿褲子的機率，P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A')P(A')，在這裡是0.5×0.4 + 1×0.6 = 0.8.
根據貝葉斯定理，我們計算出後驗機率P(A|B)：
