內接四邊形

簡介

在同圓內，四邊形的四個頂點均在同一個圓上的四邊形叫做圓內接四邊形，擁有很多有用的性質。

以圓內接四邊形ABCD為例，圓心為O，延長AB至E，AC、BD交於P，則：

▶圓內接四邊形的對角互補：∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°

▶圓內接四邊形的任意一個外角等於它的內對角：∠CBE=∠ADC

▶圓心角的度數等於所對弧的圓周角的度數的兩倍：∠AOB=2∠ACB=2∠ADB

▶同弧所對的圓周角相等：∠ABD=∠ACD

▶圓內接四邊形對應三角形相似：△ABP∽△DCP（三個內角對應相等）

▶相交弦定理：AP×CP=BP×DP

▶托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD

1、如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形內接於一個圓；

2、如果一個四邊形的外角等於它的內對角，那么這個四邊形內接於一個圓；

3、如果一個四邊形的四個頂點與某定點等距離，那么這個四邊形內接於以該點為圓心的一個圓；

4、若有兩個同底的三角形，另一頂點都在底的同旁，且頂角相等，那么這兩個三角形有公共的外接圓；

5、如果一個四邊形的張角相等，那么這個四邊形內接於一個圓；

S圓內接四邊形=√[﹙p-a﹚﹙p-b﹚﹙p-c﹚﹙p-d﹚]，[p=1/2﹙a+b+c+d﹚]，此公式叫婆羅摩笈多公式。

熟悉海倫公式的可以看出，這和海倫公式三角形面積S=√[p ﹙p-a﹚﹙p-b﹚﹙p-c﹚] （p=1/2﹙a+b+c﹚）具有驚人的相似，其實海倫公式就是婆羅摩笈多公式d=0的特殊形式。