圓內接四邊形

圓內接四邊形（Cyclic quadrilateral）是一個幾何概念，是指四個頂點均在同一圓上的四邊形。圓內接四邊形擁有很多幾何性質，可用於數學幾何問題求解。

基本介紹

• 中文名：圓內接四邊形
• 外文名：Cyclic quadrilateral
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：幾何學

性質定理

以右圖所示圓內接四邊形ABCD為例，圓心為O，延長AB至E，AC、BD交於P，則：

1.圓內接四邊形的對角互補：∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°

2.圓內接四邊形的任意一個外角等於它的內對角：∠CBE=∠ADC

3.圓心角的度數等於所對弧的圓周角的度數的兩倍：∠AOB=2∠ACB=2∠ADB

4.同弧所對的圓周角相等：∠ABD=∠ACD

5.圓內接四邊形對應三角形相似：△ABP∽△DCP（三個內角對應相等）

6.相交弦定理：AP×CP=BP×DP

示例圖

7.托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD

判定定理

1、如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形內接於一個圓；

2、如果一個四邊形的外角等於它的內對角，那么這個四邊形內接於一個圓；

3、如果一個四邊形的四個頂點與某定點等距離，那么這個四邊形內接於以該點為圓心的一個圓；

4、若有兩個同底的三角形，另一頂點都在底的同旁，且頂角相等，那么這兩個三角形有公共的外接圓；

5、如果一個四邊形的張角相等，那么這個四邊形內接於一個圓；

6、相交弦定理的逆定理；

7、托勒密定理的逆定理。

面積計算

S圓內接四邊形，p=（a+b+c+d）/2，此公式稱之為婆羅摩笈多公式。與海倫公式對比可以看出，這和海倫公式三角形面積具有驚人的相似性，其實海倫公式就是婆羅摩笈多公式d=0的特殊形式。

相關例題

例題1：

例題1

在圓內接四邊形ABCD中，AB=3，AD=5，BD=7，∠BDC=45°，則BC的長為_______？

答案

使用餘弦定理：BD²=AB²+AD²-2AB×AD×cosA，解得∠A=120°，

因為：圓內接四邊形對角互補，

所以：∠C=60°，

使用正弦定理： BC÷sin∠BDC=BD÷sin∠C，

即BC÷[(√2)÷2]=7÷[(√3)/2]

所以：BC=(7√6)/3

例題2：

如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，AB>CD，K、M分別在AD、BC上，∠DAM=∠CBK，

例題2（題圖）

求證：∠DMA=∠CKB（第二屆袓沖之杯國中數學競賽考題）

答案

證明：聯結KM與BC延長線上一點E。

因為：∠DAM=∠CBK

所以：AKMB四點共圓

因為：AB//DC

所以：∠DKM=∠MBA =∠DCE

所以：∠AKB=∠AMB，∠DKM=∠MBA

所以：CDKM四點共圓

所以：∠DKC=∠CMD

例題2（答案圖）

所以：∠CKB=∠DMA