克萊姆法則

克萊姆法則，又譯克拉默法則（Cramer's Rule）是線性代數中一個關於求解線性方程組的定理。它適用於變數和方程數目相等的線性方程組，是瑞士數學家克萊姆（1704-1752）於1750年，在他的《線性代數分析導言》中發表的。其實萊布尼茲〔1693〕，以及馬克勞林〔1748〕亦知道這個法則，但他們的記法不如克萊姆。

對於多於兩個或三個方程的系統，克萊姆的規則在計算上非常低效；與具有多項式時間複雜度的消除方法相比，其漸近的複雜度為O（n·n！）。即使對於2×2系統，克拉默的規則在數值上也是不穩定的。

基本介紹

• 中文名：克萊姆法則
• 外文名：Cramer's Rule
• 性質：求解線性方程組的定理
• 提出者：瑞士數學家克萊姆
• 別稱：克拉默法則
• 領域：線性代數

作者介紹

克萊姆（Cramer,Gabriel，瑞士數學家 1704-1752）克萊姆1704年7月31日生於日內瓦，早年在日內瓦讀書，1724 年起在日內瓦加爾文學院任教，1734年成為幾何學教授，1750年任哲學教授。他自 1727年進行為期兩年的旅行訪學。在巴塞爾與約翰．伯努利、歐拉等人學習交流，結為摯友。後又到英國、荷蘭、法國等地拜見許多數學名家，回國後在與他們的長期通信 中，加強了數學家之間的聯繫，為數學寶庫也留下大量有價值的文獻。他一生未婚，專心治學，平易近人且德高望重，先後當選為倫敦皇家學會、柏林研究院和法國、義大利等學會的成員。

主要著作是《代數曲線的分析引論》（1750），首先定義了正則、非正則、超越曲線和無理曲線等概念，第一次正式引入坐標系的縱軸（Y軸），然後討論曲線變換，並依據曲線方程的階數將曲線進行分類。為了確定經過5 個點的一般二次曲線的係數，套用了著名的“克萊姆法則”，即由線性方程組的係數確定方程組解的表達式。該法則於1729年由英國數學家馬克勞林得到，1748年發表，但克萊姆的優越符號使之流傳。

基本介紹

一般來說，用克萊姆法則求線性方程組的解時，計算量是比較大的。使用克萊姆法則求線性方程組的解的算

法時間複雜度依賴於矩陣行列式的算法複雜度O(f(n))，其複雜度為O(n·f(n))，一般沒有計算價值，複雜度太高。. 對具體的數字線性方程組，當未知數較多時往往可用計算機來求解。用計算機求解線性方程組目前已經有了一整套成熟的方法。

概念

在引入克萊姆法則之前，先引入有關n元線性方程組和有關矩陣、行列式的概念。含有n個未知數的線性方程組稱為n元線性方程組。

當其右端的常數項b₁,b₂,...,b_n不全為零時，線性方程組⑴稱為非齊次線性方程組。

令，其中A是線性方程組的係數矩陣，X是由未知數組成的列向量，是由常數項組成的列向量。線性方程組⑴的矩陣形式為。

當常數項全為零時，線性方程組⑵稱為齊次線性方程組，即：

線性方程組(2)的矩陣形式為

係數構成的行列式稱為該方程組的係數行列式D，即

定理

記法1：若線性方程組⑴的係數矩陣可逆（非奇異），即係數行列式 D≠0。有唯一解，其解為

記法2：若線性方程組⑴的係數矩陣可逆（非奇異），即係數行列式 D≠0，則線性方程組⑴有唯一解，其解為

其中D_j是把D中第j列元素對應地換成常數項而其餘各列保持不變所得到的行列式。

記法1是將解寫成矩陣（列向量）形式，而記法2是將解分別寫成數字，本質相同。

證明

充分性：設A可逆，那么顯然是的一個解。又設X₁是其他不為X₀的解，即。兩邊同時左乘A^-1得

上面兩式矛盾，因為不存在其他不為X₀的解，故是的一個解。

必要性：設的唯一解X_0。如A不可逆，齊次線性組AX=O就有非零解Y₀，

X0+Y0也是的一個解，矛盾，故不可逆，證畢。

推論

n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是其係數行列式為零。等價地，方程組有唯一的零解的充要條件是係數矩陣的行列式不為零，其矩陣可逆。

法則總結

1. 克萊姆法則的重要理論價值：研究了方程組的係數與方程組解的存在性與唯一性關係;與其在計算方面的作用相比，克萊姆法則更具有重大的理論價值。

2.套用克萊姆法則判斷具有N個方程、N個未知數的線性方程組的解:

（1）當方程組的係數行列式不等於零時，則方程組有解，且具有唯一的解；

（2）如果方程組無解或者有兩個不同的解，那么方程組的係數行列式必定等於零

(3)克萊姆法則不僅僅適用於實數域，它在任何域上面都可以成立。

3.克萊姆法則的局限性：

（1）當方程組的方程個數與未知數的個數不一致時，或者當方程組係數的行列式等於零時，克萊姆法則失

效。

（2）運算量較大，求解一個N階線性方程組要計算N+1個N階行列式。

技術套用

克萊姆法則在解決微分幾何方面十分有用。

先考慮兩條等式和。因為u和v都是沒相關的變數，我們可定義和。

找出一條等式適合是克萊姆法則的簡單套用。

首先，我們要計算F、G、x和y的導數：

將dx和dy代入dF和dG，可得出：

因為u和v都沒有關係，所以du和dv的係數都要等於0。所以等式中的係數可以被寫成：

用克萊姆法則就可得到：

用兩個雅可比矩陣來表示的方程：

b

用類似的方法就可以找到、以及。

不確定的情況

當方程組沒有解時，稱為方程組不兼容或不一致，當存在多個解決方案時，稱為不確定性。對於線性方程，不確定的系統將具有無窮多的解（如果它在無限域上），因為解可以用一個或多個可以取任意值的參數來表示。

克拉默規則適用於係數行列式非零的情況。在2×2的情況下，如果係數行列式為零，則如果分子決定因子為非零，則系統不兼容，如果分子決定因素為零，則系統不兼容。

對於3×3或更高的系統，當係數行列式等於零時，唯一可以說的是，如果任何分子決定因素是非零的，那么系統必須是不兼容的。然而，將所有決定因素置零都不意味著系統是不確定的。 3×3系統x + y + z = 1，x + y + z = 2，x + y + z = 3的一個簡單的例子，其中所有決定因素消失（等於零）但系統仍然不兼容。