傅立葉展開式

傅立葉展開式(Fourier expansion)是指用三角級數表示的形式，即一個函式的傅立葉級數在它收斂於此函式本身時的一種稱呼。若函式f(x)的傅立葉級數處處收斂於f (x)，則此級數稱為f(x)的傅立葉展開式。

基本介紹

• 中文名：傅立葉展開式
• 外文名：Fourier expansion
• 領域：數理科學
• 套用：傅立葉分析

歷史

傅立葉展開式是一個函式的傅立葉級數在它收斂於此函式本身時的一種稱呼。而傅立葉級數得名於法國數學家約瑟夫·傅立葉(1768年–1830年)，他提出任何函式都可以展開為三角級數。此前數學家如拉格朗日等已經找到了一些非周期函式的三角級數展開，而認定一個函式有三角級數展開之後，通過積分方法計算其係數的公式，歐拉、達朗貝爾和克萊羅早已發現，傅立葉的工作得到了丹尼爾·伯努利的贊助。傅立葉介入三角級數用來解熱傳導方程，其最初論文在1807年經拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德評審後被拒絕出版，他目前被稱為傅立葉逆轉定理的理論後來發表於1820年的《熱的解析理論》中。將周期函式分解為簡單振盪函式的總和的最早想法，可以追溯至公元前3世紀古代天文學家的均輪和本輪學說。

傅立葉級數在數論、組合數學、信號處理、機率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的套用。

定義

表示實變數 的一個函式，且 在 上可積， 和 為實數。我們將嘗試用諧波關係的正弦函式的無窮和或級數來表示該區間內的 。在區間外，級數以 為周期（頻率為 ）。若 也具有該性質，則它的近似在整個實數線上有效。我們可以從有限求和（或部分和）開始：

為周期為 的周期函式。運用恆等式：

我們還可以用這些等價形式書寫這個函式：

其中：

當係數（即傅立葉係數）以下面方式計算時：

在 近似了 ，該近似程度會隨著N→∞ 逐漸改善。這個無窮和 叫做 的傅立葉級數。在工程套用中，一般假定傅立葉級數除了在不連續點以外處處收斂，原因是工程上遇到的函式比數學家提供的這個假定的反例表現更加良好。特別地，傅立葉級數絕對收斂且一致收斂於s(x)，只要在s(x) 的導數（或許不會處處存在）是平方可積的。 如果一個函式在區間 [x₀, x₀+P]上是平方可積的，那么此傅立葉級數在幾乎所有點都收斂於該函式。傅立葉級數的收斂性取決於函式有限數量的極大值和極小值，這就是通常稱為傅立葉級數的狄利克雷條件。參見傅立葉級數的收斂性之一。對於廣義函式或分布也可以用範數或弱收斂定義傅立葉係數。

分類

1.三角形式傅立葉展開式

設周期信號f(t)，其周期為T，角頻率為，則該信號可展開為下面三角形式的傅立葉級數:

2.復指數形式傅立葉展開式

設周期信號f(t)，其周期為T，角頻率為，則該信號復指數的傅立葉級數：

三角形式的傅立葉級數物理含義明確，而指數形式的傅立葉級數數學處理方便，而且很容易與後面介紹的傅立葉變換統一起來。兩種形式的傅立葉級數的關係可由下式表示：

收斂性判別

至今還沒有判斷傅立葉級數的收斂性充分必要條件，但是對於實際問題中出現的函式，有很多種判別條件可用於判斷收斂性。比如x(t)的可微性或級數的一致收斂性。在閉區間上滿足狄利克雷條件的函式表示成的傅立葉級數都收斂。狄利克雷條件如下：

1. 在定義區間上，x(t)須絕對可積；
2. 在任一有限區間中，x(t)只能取有限個極值點；
3. 在任何有限區間上，x(t)只能有有限個第一類間斷點。

滿足以上條件的x(t)傅立葉級數都收斂，且：

1. 當t是x(t)的連續點時，級數收斂於x(t)；

2. 當t是x(t)的間斷點時，級數收斂於

1966年，里納特·卡爾松證明了勒貝格二次可積函式的傅立葉級數一定是幾乎處處收斂的，即級數在除了一個勒貝格零測集外均收斂。

吉布斯現象：在x(t)的不可導點上，如果我們只取(1)式右邊的無窮級數中的有限項作和X(t)，那么X(t)在這些點上會有起伏。一個簡單的例子是方波信號。

傅立葉展開式的意義

理論意義：把複雜的周期函式用簡單的三角級數表示；

套用意義：用三角函式之和近似表示複雜的周期函式。