三角級數

在數學中，傅立葉級數是一種三角級數，傅立葉級數也常稱為三角級數。但並不是所有三角級數都是傅立葉級數。一個有趣的問題是給定一個三角級數，當x取什麼值時級數收斂。

基本介紹

• 中文名：三角級數
• 外文名：Trigonometric series
• 領域：數學

定義

在數學中，三角級數是任何具有下述形式的級數：

當 和 具有以下形式時，該級數稱為傅立葉級數：

其中 是可積函式。

傅立葉級數是一種三角級數，傅立葉級數也常稱為三角級數。但並不是所有三角級數都是傅立葉級數。一個有趣的問題是給定一個三角級數，當x取什麼值時級數收斂。

唯一定理

格奧爾格·康托爾在1870年證明了這一定理。如果三角級數的和函式是零，那么，該三角級數的各項係數均為零。因此，如果兩個三角級數的和函式相等，那么它們的各項係數也相等。

傅立葉級數

在數學中，傅立葉級數（Fourier series）是把類似波的函式表示成簡單正弦波的方式。更正式地說，它能將任何周期函式或周期信號分解成一個（可能由無窮個元素組成的）簡單振盪函式的集合，即正弦函式和餘弦函式（或者，等價地使用復指數）。離散時間傅立葉變換是一個周期函式，通常用定義傅立葉級數的項進行定義。另一個套用的例子是Z變換，將傅立葉級數簡化為特殊情形 |z|=1。傅立葉級數也是採樣定理原始證明的核心。傅立葉級數的研究是傅立葉分析的一個分支。

歷史

傅立葉級數得名於法國數學家約瑟夫·傅立葉(1768年–1830年)，他提出任何函式都可以展開為三角級數。此前數學家如拉格朗日等已經找到了一些非周期函式的三角級數展開，而認定一個函式有三角級數展開之後，通過積分方法計算其係數的公式，歐拉、達朗貝爾和克萊羅早已發現，傅立葉的工作得到了丹尼爾·伯努利的贊助。傅立葉介入三角級數用來解熱傳導方程，其最初論文在1807年經拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德評審後被拒絕出版，他的被稱為傅立葉逆轉定理的理論後來發表於1820年的《熱的解析理論》中。將周期函式分解為簡單振盪函式的總和的最早想法，可以追溯至公元前3世紀古代天文學家的均輪和本輪學說。

傅立葉級數在數論、組合數學、信號處理、機率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的套用。

定義

在這一節中， 表示實變數 的一個函式，且 在 上可積， 和 為實數。我們將嘗試用諧波關係的正弦函式的無窮和或級數來表示該區間內的 。在區間外，級數以 為周期（頻率為 ）。若 也具有該性質，則它的近似在整個實數線上有效。我們可以從有限求和（或部分和）開始：

為周期為P的周期函式。運用恆等式：

當係數（即傅立葉係數）以下面方式計算時：

在 近似了 ，該近似程度會隨著N→∞ 逐漸改善。這個無窮和叫做 的傅立葉級數表示。在工程套用中，一般假定傅立葉級數除了在不連續點以外處處收斂，原因是工程上遇到的函式比數學家提供的這個假定的反例表現更加良好。特別地，傅立葉級數絕對收斂且一致收斂於s(x)，只要在s(x) 的導數（或許不會處處存在）是平方可積的。 如果一個函式在區間 [x₀, x₀+P]上是平方可積的，那么此傅立葉級數在幾乎所有點都收斂於該函式。傅立葉級數的收斂性取決於函式有限數量的極大值和極小值，這就是通常稱為傅立葉級數的狄利克雷條件。參見傅立葉級數的收斂性之一。對於廣義函式或分布也可以用範數或弱收斂定義傅立葉係數。

延伸

希爾伯特空間的解讀

所謂的兩個不同向量正交是指它們的內積為0，這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關性,例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實上，正交是垂直在數學上的一種抽象化和一般化。一組n個互相正交的向量必然是線性無關的，所以必然可以張成一個n維空間，也就是說，空間中的任何一個向量可以用它們來線性表出。

在希爾伯特空間釋義下，函式的集合是平方可積函式的正交基。這個空間實際上是一個希爾伯特空間，有著針對任何兩個的元素f和g的如下內積：

三角函式族的正交性用公式表示出來就是：

(這裡的δ_mn是克羅內克函式)，而

收斂性

至今還沒有判斷傅立葉級數的收斂性充分必要條件，但是對於實際問題中出現的函式，有很多種判別條件可用於判斷收斂性。比如x(t)的可微性或級數的一致收斂性。在閉區間上滿足狄利克雷條件的函式表示成的傅立葉級數都收斂。狄利克雷條件如下：

1. 在定義區間上，x(t)須絕對可積；
   
2. 在任一有限區間中，x(t)只能取有限個極值點；
   
3. 在任何有限區間上，x(t)只能有有限個第一類間斷點。
   

滿足以上條件的x(t)傅立葉級數都收斂，且：

1.當t是x(t)的連續點時，級數收斂於x(t)；

2.當t是x(t)的間斷點時，級數收斂於 。

1966年，里納特·卡爾松證明了勒貝格二次可積函式的傅立葉級數一定是幾乎處處收斂的，即級數在除了一個勒貝格零測集外均收斂。

參閱

• 離散時間傅立葉級數
  
• 傅立葉變換
  
• 維爾斯特拉斯逼近定理