DFS(離散傅立葉級數)

簡介

連續周期信號的連續傅立葉級數有著無窮多的離散頻率分量，相鄰分量的間距由信號的周期決定，等於1/T（角度，弧度乘2π）。

和連續周期信號相比，離散周期信號的離散傅立葉級數的頻譜是周期性的，因為時域的連續對應於頻率的非周期，時域的離散對應於頻率的周期。所以我們只需要在（0，2π）的頻域區間上取N個點就可以完整表示出來了。這是連續周期信號和離散周期信號傅立葉級數的最根本區別。

DFT即是Discrete Fouriers Transform

周期為N的周期序列x[k]，其離散傅立葉級數為

：

其中，DFS的逆變換序列：

（k=<N>表示對一個周期N內的值求和）

連續周期信號的離散化（下面的討論中，

）：

首先，在傅立葉級數一文中，我們知道函式

是對於任意的T是周期為T的函式，然而其對應的離散信號則不一定是周期的，可以證明，只有當

是有理數時，離散信號f[n]才是周期函式。

其次，在滿足條件1的前提下，連續周期信號<math>f_k(t)</math>對應的離散信號

對k也具有周期性，其周期為N，即

中只有N個不同的序列。

從離散時間傅立葉變換的係數公式我們可以看出，

也是對k周期為N的函式。

離散傅立葉變換實際上是離散時間傅立葉級數在主值區間上的取值。我們注意到，離散傅立葉變換是對非周期函式f[n]進行的，如果我們對f[n]的定義拓廣為周期函式f'[n]：

。並且當

時，f'[n]實際上就是f[n]，那么我們現在可以求出f'[n]的傅立葉級數。同樣，當

時無窮級數變成了積分，得到的結果是一個連續的周期函式

（正如離散傅立葉變換一文中所述），這就是f[n]的離散時間傅立葉變換。這時，只需在它的主值區間上採樣，就可以得到離散傅立葉變換的變換序列。