正弦級數和餘弦級數

一般來說，一個函式的傅立葉級數既含有正弦項，又含有餘弦項。特別地，只含有正弦項的傅立葉級數稱為正弦級數，只含有餘弦項的傅立葉級數稱為餘弦級數。

基本介紹

• 中文名：正弦級數和餘弦級數
• 外文名：sinusoidal functon and cosine function
• 性質：兩種特殊的傅立葉級數
• 套用學科：數學

以2l為周期的函式的傅立葉級數

設 是以 為周期的函式，則其傅立葉係數為

所以，其傅立葉級數為

若函式 在 上按段光滑，則由收斂定理得

正弦級數與餘弦級數

奇函式的傅立葉級數—正弦函式

設 是以 為周期的奇函式，或是定義在 上的奇函式，則在 上， 是奇函式， 是偶函式。因此， 的傅立葉係數是

所以當 為奇函式時，它的傅立葉級數只含有正弦函式的項，即

其中 如（1）所示。（2）式右邊的級數稱為正弦級數。

當 ,則奇函式 所展開成的正弦級數為

其中

偶函式的傅立葉級數—餘弦級數

設 是以 為周期的偶函式，或是定義在 上的偶函式，則在 上， 是偶函式， 是奇函式。因此， 的傅立葉係數是

於是 的傅立葉級數只含有餘弦函式的項，即

其中 如（3）所示。（4）式右邊的級數稱為餘弦級數。

當 ，則偶函式 所展開成的餘弦函式為

其中

套用

定義在 上的函式 展成正弦級數。

具體步驟：

（1）奇延拓：在 上補充定義得 ，使得 在 為奇函式。

（2）對 作周期延拓。

（3）將經過奇延拓與周期延拓後的函式 展成傅立葉級數

其中

定義在上的函式展成餘弦級數。

具體步驟：

（1）偶延拓：在上補充定義得到，使得在為偶函式。

（2）對作周期延拓。

（3）將經過偶延拓與周期延拓後的函式展成傅立葉級數

其中