古希臘三大幾何問題

古希臘三大幾何問題既引人入勝，又十分困難。問題的妙處在於它們看非常簡單，而實際上卻有著深刻的內涵。它們都要求作圖只能使用圓規和無刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圓規。但直尺和圓規所能作的基本圖形只有：過兩點畫一條直線、作圓、作兩條直線的交點、作兩圓的交點、作一條直線與一個圓的交點。某個圖形是可作的就是指從若干點出發，可以通過有限個上述基本圖形複合得到。經過2000多年的艱苦探索，數學家們終於弄清楚了這3個難題是“不可能用尺規完成的作圖題”。認識到有些事情確實是不可能的，這是數學思想的一大飛躍。

基本介紹

• 中文名：古希臘三大幾何問題
• 外文名：Three impossible ruler-and-compass constructions from ancient Greek mathematicians
• 學科：平面幾何
• 內容：立方倍積、化圓為方、三等分角

問題引入

傳說大約在公元前400年，古希臘的雅典流行疫病，為了消除災難，人們向太陽神阿波羅求助，阿波羅提出要求，說必須將他神殿前的立方體祭壇的體積擴大1倍，否則疫病會繼續流行。人們百思不得其解，不得不求教於當時最偉大的學者柏拉圖，柏拉圖也感到無能為力。這就是古希臘三大幾何問題之一的倍立方體問題。用數學語言表達就是：已知一個立方體，求作一個立方體，使它的體積是已知立方體的兩倍。另外兩個著名問題是三等分任意角和化圓為方問題。

然而，一旦改變了作圖的條件，問題則就會變成另外的樣子。比如直尺上如果有了刻度，則倍立方體和三等分任意角就都是可作的了。數學家們在這些問題上又演繹出很多故事。中國數學家和一位有志氣的中學生，先後解決了美國著名幾何學家佩多提出的關於“生鏽圓規”(即半徑固定的圓規)的兩個作圖問題，為尺規作圖添了精彩的一筆。

或描述如下:

這是三個作圖題，只使用圓規和直尺求出下列問題的解，直到十九世紀被證實這是不可能的：

1.立方倍積 即求作一立方體的邊，使該立方體的體積為給定立方體的兩倍。

2.化圓為方 即作一正方形，使其與一給定的圓面積相等。

3.三等分角 即分一個給定的任意角為三個相等的部分。

具體內容

立方倍積

關於立方倍積的問題有一個神話流傳：當年希臘提洛斯（Delos）島上瘟疫流行，居民恐懼也向島上的守護神阿波羅（Apollo）祈禱，神廟裡的預言修女告訴他們神的指示：“把神殿前的正立方形祭壇加到二倍，瘟疫就可以停止。”由此可見這神是很喜歡數學的。居民得到了這個指示後非常高興，立刻動工做了一個新祭壇，使每一棱的長度都是舊祭壇棱長的二倍，但是瘟疫不但沒停止，反而更形猖獗，使他們都又驚奇又懼怕。結果被一個學者指出了錯誤：「棱二倍起來體積就成了八倍，神所要的是二倍而不是八倍。」大家都覺得這個說法很對，於是改在神前並擺了與舊祭壇同形狀同大小的兩個祭壇，可是瘟疫仍不見消滅。人們困擾地再去問神，這次神回答說：「你們所做的祭壇體積確是原來的二倍，但形狀卻並不是正方體了，我所希望的是體積二倍，而形狀仍是正方體。」居民們恍然大悟，就去找當時大學者柏拉圖（Plato）請教。由柏拉圖和他的弟子們熱心研究，但不曾得到解決，並且耗費了後代許多數學家們的腦汁。而由於這一個傳說，立方倍積問題也就被稱為提洛斯問題。

化圓為方

方圓的問題與提洛斯問題是同時代的，由希臘人開始研究。有名的阿基米徳把這問題化成下述的形式：已知一圓的半徑是r，圓周就是2πr，面積是πr²。由此若能作一個直角三角形，其夾直角的兩邊長分別為已知圓的周長2πr及半徑r，則這三角形的面積就是

(1/2)(2πr)(r)=πr^2

與已知圓的面積相等。由這個直角三角形不難作出同面積的正方形來。但是如何作這直角三角形的邊。即如何作一線段使其長等於一已知圓的周長，這問題阿基米德可就解不出了。

三等分角

三等分任意角的題也許比那兩個問題出現更早，早到歷史上找不出有關的記載來。但無疑地它的出現是很自然的，紀元前五、六百年間希臘的數學家們就已經想到了二等分任意角的方法，正像我們在幾何課本或幾何畫中所學的：以已知角的頂點為圓心，用適當的半徑作弧交角兩的兩邊得兩個交點，再分別以這兩點為圓心，用一個適當的長作半徑畫弧，這兩弧的交點與角頂相連就把已知角分為二等分。二等分一個已知角既是這么容易，很自然地會把問題略變一下：三等分怎么樣呢？這樣，這一個問題就這么非常自然地出現了。

結果意義

化圓為方，立方倍積和三等分角這三大古希臘幾何作圖難題的結果又是如何被證明的呢？帶著問題讓我們來探究一下。

（1）化圓為方問題的結果

我們都知道化圓為方是由古希臘著名學者阿納克薩戈勒斯提出的，但是阿納克薩戈勒斯一生也未能解決自己提出的問題。

實際上，這個化圓為方問題中的正方形的邊長是圓面積的算術平方根。我們假設圓的半徑為單位1，那么正方形的邊長就是根號π。

直到1882年，化圓為方的問題才最終有了合理的答案。德國數學家林德曼（Lindemann,1852~1939)在這一年成功地證明了圓周率π=3.1415926......是超越數，並且尺規作圖是不可能作出超越數來，所以用尺規作圖的方式解決化圓為方的問題才被證明是不可能實現的。

德國數學家林德曼

（2）倍立方積和三等分角問題的結果

直到1830年，18歲的法國數學家伽羅華首創了後來被命名為“伽羅華理論”，該理論能夠證明倍立方積和三等分角問題都是尺規作圖不能做到的問題。1837年，法國數學家汪策爾（Wantzel,1814~1848)終於給出三等分角和倍立方積的問題都是尺規作圖不可能問題的證明。

（3）三大幾何作圖難題的意義

雖然三大幾何作圖難題都被證明是不可能由尺規作圖的方式做到的，但是為了解決這些問題，數學家們進行了前赴後繼的探索，最後得到了不少新的成果，發現了許多新的方法。同時，它反映了數學作為一門科學，它是一片浩瀚深邃的海洋，仍有許多未知的謎底等待這我們去發現。