δ測度

δ測度是測度論中的一個概念。給定一個δ-代數 ，以及其上的一個測度 ，如果該測度是一個有限的實數（而不是無窮大），那么就稱這個測度為有限測度。如果 能夠表示為 之中的可數多個有限測度的子集的並集，那么就稱這個測度為δ-測度。

基本介紹

• 中文名：δ測度
• 外文名：δmeasure
• 領域：數學
• 別名：有限測度

定義

σ測度是測度論中的一個概念。給定一個-代數 ，以及其上的一個測度 ，如果 是一個有限的實數（而不是無窮大），那么就稱這個測度為有限測度。如果 能夠表示為 之中的可數多個有限測度的子集的並集，

那么就稱這個測度為δ-測度。如果 的某個子集能夠表示為 之中的可數多個有限測度的子集的並集，那么也稱這個子集擁有δ-有限測度。

性質

δ-測度中，全集可以表示為 中的可數個有限測度子集的並集： ，但實際上表示的方法可以不止一種。比如說，令

那么 ，也就是說 也是一系列有限測度的子集，並且 ，所以 。隨著下標增大， 的測度越來越大，趨向正無窮大，並且 。這稱為全集的升序表示。

而如果令： 那么 也是一系列測度有限，並且兩兩不相交的集合（交集為空集），並且 。 被稱為全集的一個劃分，或者稱為全集的不交覆蓋。

半有限和一致δ-有限測度

與δ-有限測度的概念相關的概念還有半有限測度和一致δ-有限測度。一致δ-有限測度是一類特殊的δ-有限測度。它不僅要求全集 能夠表示為 中的可數個有限測度子集的並集： ，而且要求存在一個正實數 ，使得這些子集的測度（的絕對值）都小於等於 。

勒貝格測度和自然數集上的計數測度都是一致σ-有限測度。但並非所有的δ-有限測度都是一致δ-有限測度。比如說自然數集上如下定義的δ-有限測度 ：

就不是一致δ-有限測度。

半有限測度則是比δ-有限測度更寬泛的一種定義。如果 上的一個測度中，任意一個測度為無窮大的子集都包含有測度為任意大有限值的子集，那么就說這個測度是半有限測度。任何的δ-有限測度都是半有限測度，只要考慮它的升序表示，但反之則不然。比如說實數集上的計數測度就是半有限測度，但它並不是δ-有限測度。

與機率測度的等價性

給定 ，其上的任何δ-有限測度 都等價於一個 的機率測度。具體的構造方法是：令 為全集 的一個不交覆蓋（劃分），並且每個 在 下的測度都是有限的；再令 為一個由正實數構成的數列，並且級數和

那么以下方式定義的測度 ：

就是一個與 等價的機率測度，因為兩者有著相同的零測集。

擴展

1.勒貝格測度

實數集 上的勒貝格測度不是有限測度，因為整個實數軸的長度，也就是全集 的測度是無窮大。但是，勒貝格測度是δ-有限測度，因為 可以表示為所有形如 的區間的並集，而每個區間的測度都是有限的（等於 ）：

2.計數測度

實數集 上的計數測度，是將任何的子集的元素“個數”作為測度值的測度：含有無窮多個元素的子集的測度就是無窮大。這個測度不是δ-有限測度，因為實數集是不可數的，它不能表示成可數個只包含有限個元素的子集的並集。不過，自然數集 上的計數測度就是δ-有限測度，因為全集 可以（很自然地）表示成可數個測度為1的子集的並集：

3.局部緊群

設 是一個局部緊的拓撲群，並且是δ-緊緻的，那么群 上的哈爾測度是δ-測度。