現代機率論基礎導論

內容簡介

《現代機率論基礎導論》是一本以介紹現代機率論基礎理論和方法為主的機率論教材。共分三部分。第1章和第2章為測度論，用較短的篇幅完整地敘述了測度與積分的一般理論，包括了一般測度、Lebesgue-Stieltjes測度、Lebesgue測度、積分與期望的定義及單調收斂定理、Fatou引理、Lebesgue控制收斂定理、Fubini定理等主要的測度與積分結果。第3章和第4章為極限論，介紹了機率論和統計中的常用的分布、分布函式、特徵函式和四種收斂性，並側重於中心極限定理和各種大數定律及其證明。第5章為鞅論，從經典條件機率出發引入一般條件期望的定義，利用廣義的Radon-Nikodym定理證明了其存在性，以Markov鏈作為其套用，介紹了以條件期望為基礎的鞅的基本概念和結果。

圖書目錄

前言

第1章可測空間 1

1.1 集合及其運算律 1

1.2 半代數、代數和δ-代數 2

1.3 單調類定理 5

1.4 乘積可測空間 7

1.5 隨機變數 11

1.5.1 映射 11

1.5.2 可測映射 12

1.5.3 一維隨機變數 12

1.5.4 多維隨機變數 15

習題1 16

第2章測度空間上的積分 18

2.1 測度的定義及性質 18

2.2 從半代數到代數上的測度擴張 21

2.3 完備測度空間 23

2.4 從代數到δ-代數的機率測度擴張和構造 24

2.5 分布函式及其導出測度 32

2.6 積分的定義及其性質 37

2.6.1 積分及有限收斂定理 37

2.6.2 Fubini定理 47

2.7 隨機變數的數學期望 50

習題2 53

第3章特徵函式與弱收斂 54

3.1 特徵函式 54

3.2 弱收斂 60

3.3 四種收斂性 68

習題3 71

第4章極限定理 72

4.1 獨立性與卷積運算 72

4.2 大數定律與強大數定律 75

4.2.1 大數定律 76

4.2.2 Kolmogrov不等式 80

4.2.3 強大數定律 82

4.2.4 大數定律的套用——Monte-Carlo方法 88

4.3 中心極限定理 89

4.3.1 獨立同分布隨機變數列的中心極限定理 90

4.3.2 獨立隨機變數列的中心極限定理 92

4.4 重對數定理 96

習題4 97

第5章條件期望與鞅論 98

5.1 經典條件機率與條件數學期望的演變 98

5.2 給定δ-代數之下條件期望與條件機率 101

5.3 離散參數鞅序列的定義與性質 110

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