《正熵動力系統的不變集、測度和複雜性》是依託中央財經大學，由孫鵬擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：正熵動力系統的不變集、測度和複雜性
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：孫鵬
- 依託單位：中央財經大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
熵是動力系統和遍歷理論的核心內容之一。正熵被廣泛認為是混沌的標誌，說明系統中存在複雜性。本項目旨在研究有正熵的系統的各種動力學性質，其中主要是與系統複雜性有關的性質。主要的研究內容包括擁有不同熵或維數的遍歷測度或不變集的存在性，以及與軌道的發散速度有關的量的指數增長或衰減等等。其中研究的重點在於不變集和遍歷測度的構造，以及各種關於熵和維數的計算和估計。主要的研究目標是證明滿足一定條件的有正熵的微分動力系統中存在有任意測度熵的遍歷測度。本項目研究涉及拓撲動力系統、微分動力系統、遍歷論、分形和維數理論等多個領域，項目組有一定的研究基礎並希望通過項目的實施使我們在相關問題上保持國際領先水平。
結題摘要
本項目主要圍繞Katok的中間熵猜想研究正熵系統的各種拓撲和遍歷性質。我們發現了類specification性質可以提供良好的結構並基於此對一大類系統證明了遠好於中間熵猜想的結論，即具有中間測度壓的遍歷測度存在且在某個子空間中是稠密的G_δ集。同時我們證明了許多重要的系統滿足類specification性質因此可以套用以上結論。類似的想法和技術可以套用於更多的系統中比如DA系統。我們還完美的刻畫了滿足gluing orbit性質的零熵系統，以及證明了對於滿足approximate product性質的系統來說零熵與唯一遍歷性等價，也即得到了這些系統具有正熵的條件。這方面結果對於一大類系統回答了Parry和Herman的經典問題，也是對Katok中間熵猜想的補充。在研究過程中，我們找到了一個有效構造不變集和不變測度的新方法，同時也可以對熵和壓做出很好的估計。該方法有望套用在更多相關問題上，取得更多有趣的結果，可能是本項目為相關領域的發展做出的最重要的貢獻。
