維塔利-哈恩-薩克斯定理

維塔利-哈恩-薩克斯定理(Vitali-Hahn-Saks theorem)是測度論的重要定理。

基本介紹

  • 中文名:維塔利-哈恩-薩克斯定理
  • 外文名:Vitali-Hahn-Saks theorem
  • 適用範圍:數理科學
簡介,發展,測度論,

簡介

維塔利-哈恩-薩克斯定理是測度論的重要定理。
設(Ω,𝓕,μ)是測度空間,{μn}是定義在𝓕上的具有有限全變差 (即|μn|(Ω)<+∞,n=1,2,...)的複測度列,v是𝓕上的測度。如果每個μn關於v絕對連續,且對任何A∈𝓕,v(A)<δ時,有|μn|(A)<ε(n=1,2,...)。

發展

維塔利-哈恩-薩克斯定理有著悠久的歷史。
1907年,維塔利證明了若{fn}是[0,1]上的(L)可積函式列,幾乎處處收斂於函式f,則
存在且相等的充分必要條件是{fn}中的積分一致絕對連續。
1922年,哈恩證明了若{fn}是[0,1]上的(L)可積函式列,且
對每個(L)可測集A⊂[0,1]都存在,則{fn}的積分一致絕對連續,且
收斂於一個集函式。
1933年,薩克斯把它推廣到一般的測度空間。

測度論

測度論是研究一般集合上的測度和積分的理論。它是勒貝格測度和勒貝格積分理論的進一步抽象和發展,又稱為抽象測度論或抽象積分論,是現代分析數學中重要工具之一。 測度理論是實變函式論的基礎。
測度理論是實變函式論的基礎。所謂測度,通俗的講就是測量幾何區域的尺度。 我們知道直線上的閉區間的測度就是通常的線段長度; 平面上一個閉圓盤的測度就是它的面積。

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