n-維向量空間

在解析幾何中有些事物的性質不能用一個數來刻畫，如一個n元方程組的解是由n個數組成，而這n個數作為方程組的解是一個整體，分開來談是沒有意義的，這時我們就需要用n維向量來刻畫方程組的解。在幾何上這樣的例子是很多的，所以n維向量在抽象代數這一領域的研究中起著很重要的作用。

基本介紹

• 中文名：n維向量空間
• 外文名：n-dimensional vector space
• 學科：數學
• 領域範圍：高等代數

定義1

所謂數域 上一個 維向量空間就是由數域 中 個數組成的有序數組

稱為上述向量的分量。

幾何上的向量可以認為是它的特殊情形，即 且 為實數域的情形。在 時， 維向量就沒有直觀的幾何意義了。我們所以仍然稱它為向量，一方面固然是由於它包括通常向量作為特殊情形，另一方面也由於它與通常的向量一樣可以定義運算，並且有許多運算性質是共同的，因而採取這樣一個幾何的名詞有好處。

下面我們用小寫希臘字母 來代表向量。

定義2

如果 維向量

的對應分量都相等，即

就稱這兩個向量是相等的，記作 。

維向量之間的基本關係是用向量的加法和數量乘法表達的。

定義3

向量

稱為向量

的和，記為

由定義立即推出：

交換律：

結合律：

定義4

分量全為零的向量

稱為零向量，記為 ；向量 稱為向量 的負向量，記為 。

顯然，對於所有的 ，都有

利用負向量，可以定義向量的減法

定義5

設 為數域 中的數，向量

稱為向量 與數 的數量乘積，記為 。

由定義立即推出：

上述四個公式是關於數量乘法的四條基本運算法則。

如果 ，那么

定義6

以數域 中的數作為分量的 維向量的全體，同時考慮到定義在它們上面的加法和數量乘法，稱為數域 上的 維向量空間。

在 時， 維實向量空間可以認為就是幾何空間中全體向量所成的空間。

以上已把數域 上全體 維向量的集合組成一個有加法和數量乘法的代數結構，即數域 上 維向量空間。

向量通常是寫成一行

有時候也可以寫成一列：

為了區別，前者稱為行向量，後者稱為列向量。它們的區別只是寫法上的不同。