基本介紹
簡介,算法,示例程式,改進,
簡介
將係數矩陣A轉變成等價兩個矩陣L和U的乘積 ，其中L和U分別是單位下三角矩陣和上三角矩陣。當A的所有順序主子式都不為0時，矩陣A可以分解為A=LU（所有順序主子式不為0，矩陣不一定不可以進行LU分解）。其中L是下三角矩陣，U是上三角矩陣。
算法
LU分解在本質上是高斯消元法的一種表達形式。實質上是將A通過初等行變換變成一個上三角矩陣，其變換矩陣就是一個單位下三角矩陣。這正是所謂的杜爾里特算法（Doolittle algorithm）：從下至上地對矩陣A做初等行變換，將對角線左下方的元素變成零，然後再證明這些行變換的效果等同於左乘一系列單位下三角矩陣，這一系列單位下三角矩陣的乘積的逆就是L矩陣，它也是一個單位下三角矩陣。這類算法的複雜度一般在(三分之二的n三次方) 左右。
示例程式
Java
import java.util.Arrays;/** * 矩陣的直接三角分解 ，調用示例： * * DirectDecomposition dd = new DirectDecomposition(data);//data為一個二維double數組，代替一個矩陣 * * double[][] l = dd.getL();//獲取L * * double[][] u = dd.getU();//獲取U * * @author 清雨季 */public class DoolittleDecomposition { private double[][] data; private double[][] l; private double[][] u; private int n; /** * 創建一個n階的矩陣 * * @param n */ public DoolittleDecomposition(double[][] data) { if (data == null || data.length == 0 || data.length != data[0].length) { throw new RuntimeException("不是一個方陣"); } this.data = data; n = data.length; l = new double[n][n]; u = new double[n][n]; countLU(); } protected void countLU() { for (int i = 0; i < n; i++) {// 第一步，計算L的第一列和U的第一行：U1i=A1i,Li1=Ai1/U11 u[0][i] = data[0][i]; l[i][0] = data[i][0] / u[0][0]; } //計算U的第r行，L的第r列元素 //uri=ari-Σ(k=1->r-1)lrkuki (i=r,r+1,...,n) //lir=air-Σ(k=1->r-1)likukr (i=r+1,r+2,...,n且r≠n) for (int r = 1; r < n; r++) { for (int i = r; i < n; i++) { u[r][i] = data[r][i] - sumLrkUki(r, i); if(i==r) l[r][r]=1; else if(r==n) l[n][n]=1; else l[i][r] = (data[i][r] - sumLikUkr(r, i)) / u[r][r]; } } } /** * 求和：Lrk*Uki 對k求和：1<=k<=r-1 * * @param r * @param i * @return */ private double sumLrkUki(int r, int i) { double re = 0.0; for (int k = 0; k < r; k++) { re += l[r][k] * u[k][i]; } return re; } private double sumLikUkr(int r, int i) { double re = 0.0; for (int k = 0; k < r; k++) { re += l[i][k] * u[k][r]; } return re; } public double[][] getData() { return data; } public double[][] getL() { return l; } public double[][] getU() { return u; } public static void main(String[] args) { double[][] data= { {1,2,6}, {2,5,15}, {6,15,46}, }; DoolittleDecomposition dd = new DoolittleDecomposition(data); double[][] l = dd.getL(); double[][] u = dd.getU(); int n = l.length; System.out.println("L陣："); for (int i = 0; i < n; i++) { System.out.println(Arrays.toString(u[i])); } System.out.println("---------------------"); System.out.println("U陣："); for (int i = 0; i < n; i++) { System.out.println(Arrays.toString(l[i])); } }}Matlab
%LU分解法求解Ax=b，假定A矩陣可進行LU分解以及對角線元素均不為0function [x] = Dool(A,b)n=length(A);A(2:n,1)=A(2:n,1)/A(1,1);for t=2:n-1 %進行LU分解 A(t,t:n)=A(t,t:n)-A(t,1:t-1)*A(1:t-1,t:n); A(t+1:n,t)=(A(t+1:n,t)-A(t+1:n,1:t-1)*A(1:t-1,t))/A(t,t);endA(n,n)=A(n,n)-A(n,1:n-1)*A(1:n-1,n);L=tril(A,-1)+eye(n);U=triu(A); %矩陣A分解出L和Ufor t=2:n %解Lx=b b(t)=b(t)-L(t,1:t-1)*b(1:t-1);endb(n)=b(n)/U(n,n); %解Ux=bfor t=1:n-1; k=n-t;b(k)=(b(k)-U(k,k+1:n)*b(k+1:n))/U(k,k);endx=b; %方程Ax=b的解即為x
改進
（i）Doolittle分解
（ii）Crout分解
對於非奇異矩陣（任n階順序主子式不全為0）的方陣A，都可以進行Crout分解，得到A=LU，其中L為下三角矩陣，U為單位上三角矩陣；
（iii）列主元三角分解
對於非奇異矩陣的方陣A，採用列主元三角分解，得到PA=LU，其中P為一個置換矩陣，L，U與Doolittle分解的規定相同；
（iv）全主元三角分解
對於非奇異矩陣的方陣A，採用全主元三角分解，得到PAQ=LU，其中P，Q為置換矩陣，L，U與Doolittle分解的規定相同；
（v）直接三角分解
對於非奇異矩陣的方陣A，利用直接三角分解推導得到的公式（Doolittle分解公式或者Crout分解公式），可以進行遞歸操作，以便於計算機編程實現；
（vi）“追趕法”
改進的平方根法是Cholesky分解的一種改進。為避免公式中開平方，得到的結果是A=LDLT=TLT， 同樣給出了求T,L的公式。
小結：
（1） 從（i）~（iv）是用手工計算的基礎方法，（v）~（vi）是用計算機輔助計算的算法公式指導；
