順序主子式是取n階方陣的部分元素化為行列式形式。方陣的第k階行列式是由該方陣的前k行和k列元素組成。對於n階方陣A，其共有n階順序主子式。通過計算方陣A的所有順序主子式，可以來判斷一個實二次型是否正定或方陣A是否為正定矩陣，也可以判斷方陣A是否可以進行唯一LU分解。
基本介紹
- 中文名：順序主子式
- 外文名：Sequential Principal Minor
- 本質：由一系列行列式組成
- 特性：n階方陣有n階順序主子式
- 套用1：判定實二次型正定或矩陣正定
- 套用2：判定矩陣是否可唯一LU分解
定義,套用,舉例,
定義
設A為
階矩陣，子式
稱為A的i階順序主子式。
套用
判定實二次型正定或矩陣正定
1）實二次型
正定的充分必要條件為A的順序主子式全大於零。
2）n階矩陣
為正定矩陣的充要條件是A的所有順序主子式
。
根據以上兩個定理，可以通過計算矩陣A的所有順序主子式，來判斷一個實二次型是否正定或矩陣A是否為正定矩陣。
判定矩陣是否可唯一LU分解
設矩陣
的各階順序主子式Di（i=1,2...n-1)不等於0，則A有唯一LU分解
其中，L為單位下三角矩陣，U為上三角矩陣。
根據以上定理，可以通過計算矩陣A的所有順序主子式，來判斷矩陣A是否可以進行LU分解，且為唯一分解。
舉例
設
階矩陣
則A的順序主子式為：
所以A是正定的，由其構成的實二次型
是正定的。
因為A的n-1=2階順序主子式均不等於0，所以A有唯一LU分解，分解結果如下（
）：
