線性代數精講精練

《線性代數精講精練》是2006年8月1日北京師範大學出版的圖書。該書主要幫助學習線性代數者更好地理解和掌握基本概念，通過例子與解題，更好地掌握基本方法與基本技能，從而達到課程的基本要求。

基本介紹

• 中文名：線性代數精講精練
• 出版社：北京師範大學
• 出版時間：2006年8月1日
• 頁數：248 頁
• 開本：16 開
• 裝幀：平裝
• ISBN：9787303080366

內容簡介

線性代數是高等院校理工科各專業的重要基礎課，它對於後續課程的學習起著至關重要的作用，同時也是研究生入學考試數學科目的基本內容，因此學好線性代數課程是非常重要的。但是由於本課程的特點是邏輯性強，比較抽象，學習者往往感到不易理解與不好掌握，解題時感到困難，本書就是希望能給廣大學生與自學人員提供一個幫助，幫助他們更好地理解和掌握基本概念，通過例子與解題，更好地掌握基本方法與基本技能，從而達到本課程的基本要求。本書按目前高等院校使用較多的同濟大學編《線性代數》（第四版）的章節順序，基本採用同步形式編寫，符號、術語亦與其基本一致，個別地方改為現在較為流行的說法，在書中都加以註明。全書分六章，每章開頭是基本要求。每一節分基本內容提要、重點難點與疑點問答、典型例題三個部分，每章最後是單元複習題。“基本要求”是根據《線性代數課程基本要求》和研究生入學考試線性代數的基本要求編寫的。“基本內容提要”是該節基本概念與基本理論的綜述。“重點、難點與疑點問答”是作者根據多年來的教學實踐與經驗，指出本節的重點與難點，同時對學習過程中容易產生歧義與疑問的地方，採用問答的形式一一作了解答與分析，加深對概念的理解與掌握。“典型例題”給出了問題的解答，部分例題還加了評註。選取的部分往年考研試題都有標註，如：“例2（1999）”是指該題為1999年的考研題。章末的“單元複習題”供練習與自測用，分填空題、單項選擇題、計算與證明題三部分，並附解答與提示供參考。本書是線性代數的同步輔導書，也是線性代數的考研輔導書，也可供教材參考。

目錄

第一章 行列式

第一節 n階行列式的定義

一、基本內容提要

1、排列及其逆序數

2、有關排列的主要結論

3、n階行列式的定義

二、重點、難點與疑點問答

三、典型例題

1、有關排列與逆序的問題

2、有關行列式的定義

3、按定義計算行列式

第二節 行列式的計算

一、基本內容提要

1、行列式的性質

2、餘子式與代數餘子式

3、行列式展開公式

4、一些特殊行列式的值

5、行列式乘法定理

二、重點、難點與疑點問答

三、典型例題

1、套用行列式的性質

2、按行(列)展開公式的套用

3、遞推公式法與數學歸納法

4、加邊法(升階法)

5、利用范德蒙德行列式

6、分塊行列式

第三節 克拉默(Cramer)法則

一、基本內容提要

1、克拉默法則

2、等價說法

3、齊次方程組的情形

二、重點、難點與疑點問答

三、典型例題

單元複習題

第二章 矩陣及其運算

第一節 矩陣及其運算

一、基本內容提要

1、矩陣的概念

2、一些特殊的矩陣

3、矩陣的運算及性質

4、特殊矩陣的重要結果

二、重點、難點與疑點問答

三、典型例題

1、矩陣的基本運算

2、求方陣的冪

3、對稱矩陣和反對稱矩陣

第二節 逆矩陣

一、基本內容提要

1、逆矩陣的概念

2、矩陣可逆的充分必要條件

3、逆矩陣的性質

4、利用公式求逆矩陣

5、方陣的行列式

6、有關伴隨矩陣的結果

二、重點、難點與疑點問答

三、典型例題

1、利用定義與公式求逆矩陣

2、有關矩陣可逆性的證明

3、方陣的多項式問題

4、有關伴隨矩陣的性質

5、方陣行列式的計算

6、解矩陣方程

第三節 分塊矩陣

一、基本內容提要

1、分塊矩陣的概念

2、常用的分塊方法

3、分塊矩陣的運算及性質

二、重點、難點與疑點問答

三、典型例題

單元複習題

第三章 矩陣的初等變換與線性方程組

第一節 矩陣的初等變換與初等矩陣

一、基本內容提要

1、矩陣的初等變換與初等矩陣

2、等價矩陣與等價標準形

3、初等矩陣與初等變換的性質

4、利用初等變換求逆矩陣

5、利用初等變換解矩陣方程

二、重點、難點與疑點問答

三、典型例題

第二節 矩陣的秩

一、基本內容提要

1、矩陣的秩的概念

2、初等變換與矩陣的秩

3、有關矩陣秩的公式

4、利用初等變換求矩陣的秩

二、重點、難點與疑點問答

三、典型例題

1、計算矩陣的秩

2、關於非零子式

3、有關矩陣秩的證明題

第三節 線性方程組的解

一、基本內容提要

1、n元線性方程組

2、齊次線性方程組有非零解的條件

3、非齊次線性方程組有解的條件

4、利用初等變換解線性方程組

二、重點、難點與疑點問答

三、典型例題

單元複習題

第四章 向量組的線性相關性

第一節 向量組的線性相關性

一、基本內容提要

1、n維向量的概念

2、向量的線性運算

3、向量組的線性相關性概念

4、線性相關性的理論

5、一些有用的結果

二、重點、難點與疑點問答

三、典型例題

1、線性相關的基本概念

2、判斷向量組的線性相關性

3、有關線性表示的問題

第二節 向量組的秩

一、基本內容提要

1、向量組的等價

2、極大線性無關組的概念

3、向量組的秩

4、向量組的秩與矩陣的秩的關係

5、向量組的秩的求法

二、重點、難點與疑點問答

三、典型例題

1、求向量組的秩與極大無關組

2、求相應的參數

3、有關向量組秩的證明題

第三節 向量空間

一、基本內容提要

1、n維向量空間的概念

2、維數與基

3、基變換與坐標變換

二、重點、難點與疑點問答

三、典型例題

第四節 線性方程組的解的結構

一、基本內容提要

1、齊次線性方程組解的結構與基礎解系

2、非齊次線性方程組解的結構

3、n元齊次線性方程組有非零解的條件

4、非齊次線性方程組有解的充分必要條件

二、重點、難點與疑點問答

三、典型例題

1、求解線性方程組(用基礎解系表示)

2、同解方程與公共解問題

3、基礎解系與解的結構

4、解的理論的套用

單元複習題

第五章 相似矩陣及二次型

第一節 向量的內積

一、基本內容提要

1、內積的概念

2、長度與夾角

3、標準(規範)正交基

4、施密特正交化方法

5、正交矩陣與正交變換

二、重點、難點與疑點問答

三、典型例題

第二節 方陣的特徵值與特徵向量

一、基本內容提要

1、特徵值與特徵向量

2、求特徵值與特徵向量的步驟

3、特徵值與特徵向量的性質

二、重點、難點與疑點問答

三、典型例題

1、求給定矩陣的特徵值與特徵向量

2、伴隨矩陣、正交矩陣等的特徵值

3、有關特徵值的和與積

4、已知特徵值、特徵向量及其性質的問題

第三節 相似矩陣與矩陣的對角化

一、基本內容提要

1、相似矩陣

2、相似矩陣的性質

3、矩陣的相似對角化

二、重點、難點與疑點問答

三、典型例題

1、關於相似矩陣的概念

2、方陣的對角化問題

3、求方陣的高次冪

第四節 實對稱矩陣的相似對角化

一、基本內容提要

1、實對稱矩陣的對角化

2、正交矩陣Q的求法

二、重點、難點與疑點問答

三、典型例題

第五節 二次型及其標準形

一、基本內容提要

1、二次型及其矩陣表示

2、可逆線性變換

3、矩陣的契約

4、(實)二次形的標準形與規範形

5、化實二次型為標準形的方法

二、重點、難點與疑點問答

三、典型例題

1、二次型及其矩陣表示

2、正交變換法

3、由標準形求參數及正交變換

4、有關二次型的秩及其矩陣的特徵值問題

5、配方法

第六節 正定二次型

一、基本內容提要

1、正定二次型

2、順序主子式

3、實二次型(實對稱矩陣)正(負)定的充分必要條件

二、重點、難點與疑點問答

三、典型例題

1、確定二次型的正定性

2、判定定理及套用

單元複習題

第六章 線性空間與線性變換

第一節 線性空間

一、基本內容提要

1、線性空間的概念

2、簡單性質

3、線性子空間

4、維數、基、坐標

5、基變換和坐標變換

6、線性空間的同構

7、常見的線性空間

二、重點、難點與疑點問答

三、典型例題

1、判定集合是否構成線性空間

2、關於子空間的判定與證明

3、關於線性空間的維數、基與坐標

4、求不同基之間的過渡矩陣及坐標變換

第二節 線性變換

一、基本內容提要

1、線性變換的概念

2、線性變換的基本性質

3、線性變換的矩陣表示

4、線性變換在不同基下的矩陣互相相似

二、重點、難點與疑點問答

三、典型例題

1、判定變換是否為線性變換

2、求線性變換在某組基下的矩陣

3、有關線性變換的性質、值域和核

單元複習題

部分參考答案與提示