極大線性無關組

極大線性無關組（maximal linearly independent system）是在線性空間中擁有向量個數最多的線性無關向量組。

一個向量組的極大線性無關組是其最本質的部分, 對許多問題的研究起著非常重要的作用。如確定矩陣的秩, 討論線性方程組的基礎解系等。

基本介紹

• 中文名：極大線性無關組 
• 外文名：maximal linearly independent system 
• 簡稱：極大無關組 
• 性質：極大線性無關組與向量組本身等價 
• 一級學科：數學 
• 二級學科：線性代數 

簡介

極大線性無關組（maximal linearly independent system）是線性空間的基對向量集的推廣。設V是域P上的線性空間，S是V的子集。若S的一部分向量線性無關，但在這部分向量中，加上S的任一向量後都線性相關，則稱這部分向量是S的一個極大線性無關組。V中子集的極大線性無關組不是惟一的，例如，V的基都是V的極大線性無關組。它們所含的向量個數（基數）相同。V的子集S的極大線性無關組所含向量的個數（基數），稱為S的秩。只含零向量的子集的秩是零。V的任一子集都與它的極大線性無關組等價。特別地，當S等於V且V是有限維線性空間時，S的秩就是V的維數。

定義

設有向量組 ： ，若 中能選出r個向量 ，滿足:

(1)向量組 ： 線性無關；

(2) 向量組 中任意r+1個向量（若有的話）都線性相關，則稱向量組 是向量組A的一個極大線性無關組（簡稱為極大無關組）。

基本性質

（1）只含零向量的向量組沒有極大無關組；

（2）一個線性無關向量組的極大無關組就是其本身；

（3）極大線性無關組對於每個向量組來說並不唯一，但是每個向量組的極大線性無關組都含有相同個數的向量；

（4）齊次方程組的解向量的極大無關組為基礎解系。

（5）任意一個極大線性無關組都與向量組本身等價。

（6）一向量組的任意兩個極大線性無關組都是等價的。

（7）若一個向量組中的每個向量都能用另一個向量組中的向量線性表出，則前者極大線性無關向量組的向量個數小於或等於後者。

求解方法

擴充法

給定一個非零向量組 ，

（1）先找一個非零向量，不妨設 ，則 線性無關，保留 ;

（2）加入 ，如果 ， 線性相關，就去掉 ，如果 ， 線性無關，就保留下來；

（3）這樣依次進行下去，最終可以將 逐步擴充成一個極大線性無關組。

初等變換法

如果矩陣經過初等行變換化為，則 是 的列向量組的極大線性無關組的充要條件是是的列向量組的極大線性無關組，其中。

矩陣的秩

向量組的極大線性無關組是不唯一的, 但其極大線性無關組中所含向量的個數是唯一的, 並將其稱為該向量組的秩。由於矩陣的秩就是該矩陣的行向量組或列向量組的極大線性無關組所含向量的個數, 所以可以用向量組的極大線性無關組來確定一些矩陣秩的範圍。

定理1

若向量組 可由向量組 線性表示, 則向量組 的秩不超過向量組 的秩。

定理2

設A與B都是m×n矩陣, 則R(A+B)≤R(A)+R (B) 。

定理3

設A為m×n矩陣, B為n×s矩陣, 則R(AB) ≤ min (R(A),R(B)) 。

線性方程組解的結構

矩陣的初等變換可以反映用消元法解線性方程組的實質, 初等變換的結果是去掉了原方程組多餘的方程, 以此確定相應方程組中獨立的方程個數, 使得線性方程組的結構更加清晰。

從線性相關性的角度就是確定線性方程組對應的增廣矩陣的行向量組以及列向量組的極大線性無關組, 行向量組的極大線性無關組確定獨立方程的個數, 列向量組的極大線性無關組確定線性方程組解的結構。

定理1

設方程組對應的矩陣係數矩陣為A, 增廣矩陣為B，且R (A) =R (B) =r≠0, 則在方程組中存在r個方程, 使得解方程組可以歸結為解由這r個方程所組成的線性方程組。

定理2

設方程組對應矩陣的係數矩陣為A, 增廣矩陣為B，且R (A) =R (B) =r≠0,

（1）當r=n時, 方程組有唯一解;

（2）當r<n時, 齊次線性方程組 (2) 的解向量組的極大線性無關組有n-r個解向量。

相關計算

例1：求向量組 的一個極大線性無關組，並把其餘向量用該極大線性無關組表示。

解：對矩陣 僅施以初等變換

由最後一個矩陣可知， 為一個極大線性無關組，且