強穩定矩陣(strongly stable matrix)是一種特殊的正穩定矩陣類。它包含著對角穩定矩陣類。若A∈Rn×n，對任意非負對角矩陣D，總有A+D為正定矩陣，則稱A為強穩定矩陣。
基本介紹
- 中文名：強穩定矩陣
- 外文名：strongly stable matrix
- 領域：數學
- 學科：矩陣
- 性質：正穩定矩陣
- 包含：對角穩定矩陣
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定義
強穩定矩陣(strongly stable matrix)是一種特殊的正穩定矩陣類。它包含著對角穩定矩陣類。若A∈Rn×n，對任意非負對角矩陣D，總有A+D為正定矩陣，則稱A為強穩定矩陣。若A為強穩定矩陣，則A的任意主子陣均為強穩定矩陣。若A為強穩定矩陣，則A的各階主子式皆正，即A為P矩陣。
穩定矩陣
穩定矩陣亦稱李亞普諾夫穩定矩陣，在諸多方面有重要套用價值的一類矩陣，設A∈C，若A的特徵值實部皆負，則稱A為穩定矩陣，相應地，特徵值實部皆正的複方陣稱為正穩定矩陣，關於穩定矩陣的研究近一個世紀以來十分活躍，成果也非常廣泛，其中等價表征的討論又是其主要課題，若A∈C，且B=(I-A)(I+A)，則下述各點等價於A為穩定矩陣：
1.B存在，B為穩定矩陣，且ρ(B)<1。
2.B存在，且對任意正定陣V，矩陣方程：
3.B存在，且對任意正定陣V，級數：
4.存在正定陣H，使得AH+HA*為負定陣。
5.對任意正定陣W，矩陣方程：
6.存在正定陣W，使得WAW-1+W-1A*W為負定陣。
7.存在非奇異矩陣T，使得TAT的實部為負定陣。
8.存在正定陣P，Q及反埃爾米特矩陣S(即S滿足S*=-S)，使得A=P(S-Q)。
李亞普諾夫(Ляпунов，А.М.)於1892年的博士論文中，開創性地提出求解非線性常微分方程的李亞普諾夫函式法，亦稱直接法，建立了矩陣穩定性的概念及等價表征。這一方法在自動控制、系統問題、微分方程、力學、經濟學等科學技術的許多領域中得到廣泛的套用和發展，也奠定了常微分方程穩定性理論的基礎。
矩陣
數學中重要的基本概念之一，是代數學的一個主要研究對象，也是數學研究和套用的一個重要工具。
矩陣的理論起源，可追溯到18世紀，見於著作則是在19世紀。高斯在1801年，艾森斯坦在1844—1852年先後把一個線性變換的全部係數作為一個整體，並用一個字母來表示。艾森斯坦還強調乘法次序的重要性。這些工作孕育了矩陣的思想。
矩陣這個詞是西爾維斯特首先使用的(1850)。矩陣的概念直接從行列式的概念而來，它作為表達一個線性方程組的簡單記法而出現。脫離線性變換和行列式，對矩陣本身作專門研究，開始於英國數學家凱萊。1855年以後，凱萊發表了一系列研究矩陣理論的文章。他引進了關於矩陣的一些定義，如矩陣相等、零矩陣、單位矩陣、矩陣的和、矩陣的乘積、矩陣的逆、轉置矩陣、對稱矩陣等，並藉助於行列式定義了方陣的的特徵方程和特徵根。在1858年的文章中，凱萊證明了一個重要結果：任何方陣都滿足它的特徵方程。這個結果現被稱為凱萊—哈密頓定理。由於凱萊的奠基性工作，一般認為他是矩陣理論的創始人。
法國數學家埃爾米特、德國數學家克萊布希等研究了一些特殊矩陣的特徵根的性質。德國數學家弗羅貝尼烏斯對矩陣理論做了進一步的工作。他探求矩陣的最小多項式，並指出最小多項式是唯一的(後來亨澤爾證明了這個結論);引進矩陣的秩的概念;整理了由西爾維斯特和外爾斯特拉斯提出的不變因子和初等因子的理論;給出凱萊—哈密頓定理的一般性證明;定義了正交矩陣並研究其性質。若爾當利用相似矩陣和特徵方程的概念，證明了矩陣經過變換可相似於一個“標準型”，即現在所謂的若爾當標準型。在若爾當工作的基礎上，弗羅貝尼烏斯討論了契約矩陣與契約變換。弗羅貝尼烏斯關於矩陣理論的工作於1877年發表在《克雷爾雜誌》上。至此，矩陣論的經典內容已建立起來。
1892年，美國數學家梅勒茨引進矩陣的超越函式的概念，並把它寫成矩陣的冪級數的形式。凱萊把超複數視為矩陣的思想在19世紀末至20世紀初得到發展，與此相關形成矩陣不變數的理論。20世紀初由於積分方程的發展開始了對無窮矩陣的研究。由於近代物理的需要還開展了元素屬於抽象域的矩陣的工作。矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣等矩陣的現代理論也逐步發展起來。矩陣及其理論現已廣泛地套用於現代科技的各個領域。
正定矩陣
1.正定矩陣的行列式恆為正。
2.實對稱矩陣A正定若且唯若A與單位矩陣契約。
3.A是正定矩陣若且唯若A-1是正定矩陣。
4.兩個正定矩陣的和是正定矩陣。
5.正實數與正定矩陣的乘積是正定矩陣。
對於n階實對稱矩陣A，下列條件是等價的：
1.A是正定矩陣。
2.A的一切順序主子式均為正。
3.A的一切主子式均為正。
4.A的特徵值均為正。
5.存在實可逆矩陣C，使A=C′C。
6.存在秩為n的m×n實矩陣B，使A=B′B。
7.存在主對角線元素全為正的實三角矩陣R，使A=R′R。
