若對任何非零向量x,實二次型f(x)如果對任何x≠0都有f(x)>0,則稱f為正定二次型,並稱矩陣A是正定的,記之A>0。
基本介紹
- 中文名:正定二次型
- 外文名:positive definite quadratic form
定義,性質,判定方法,行列式法,正慣性指數法,
定義
設
,其中矩陣
是對稱陣,即
,
為列向量,若
,
,有
,則稱
為正定二次型,稱實對稱矩陣
正定。
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例如,
即為正定二次型,其中
,
。
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性質
(1)
階實對稱矩陣
正定
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(2)若
階實對稱矩陣
和
正定,
為實數,則
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①
(逆)、
(伴隨矩陣)、
均正定;
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②
正定
;
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③
正定
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判定方法
判定二次型(或對稱矩陣)為正定的方法有如下兩種
行列式法
對於給定的二次型
,寫出它的矩陣,根據對稱矩陣的所有順序主子式是否全大於零來判定二次型 (或對稱矩陣)的正定性。
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正慣性指數法
對於給定的二次型 ,先將化為標準形,然後根據標準形中平方項係數為正的個數是否等於
來判定二次型的正定性。
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通過正交變換,將二次型化為標準形後,標準形中平方項的係數就是二次型矩陣的特徵值。因此,可先求二次型矩陣的特徵值,然後根據大於零的特徵值個數是否等於
來判定二次型的正定性。
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