《黎曼流形上幾何與拓撲的若干研究》是依託浙江大學，由許洪偉擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：黎曼流形上幾何與拓撲的若干研究
- 依託單位：浙江大學
- 項目負責人：許洪偉
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
發展整體黎曼幾何、幾何分析的研究方法與技巧,研究黎曼流形與黎曼子流形的幾何結構、拓撲結構和微分結構及內在聯繫,證明黎曼流形及子流形的剛性定理、球面定理和有限性定理；證明流形上幾何不等式，研究適當條件下流形的幾何與拓撲分類；研究Ricci流、高余維平均曲率流以及Willmore流等幾何曲率流的收斂性定理及其在曲率與拓撲中的套用，推進關於黎曼流形逐點拼擠問題的丘成桐猜想和本課題組提出的關於幾何流收斂性的若干公開問題的研究；研究空間形式中平行平均曲率子流形的體積空隙問題，進而研究全平均曲率拼擠條件下歐氏空間中子流形的球面定理；研究球面中常平均曲率超曲面數量曲率的第二拼擠問題，推進廣義陳省身猜想的研究；研究黎曼流形及子流形上特徵值估計和熱核估計及其幾何與拓撲套用，推進球面中嵌入極小超曲面第一特徵值的丘成桐猜想以及關於高階特徵值的Polya猜想的研究。本課題屬核心數學的前沿領域,有許多重要套用。
結題摘要
本項目研究了黎曼流形與黎曼子流形的幾何分析、整體幾何和曲率與拓撲。在最優數量曲率拼擠條件下, 證明了雙曲空間中維數大於5的任意余維平均曲率流的收斂性定理和完備子流形的微分球面定理。在最佳化數量曲率拼擠條件下，證明了高維球面中任意余維平均曲率流的收斂性定理和完備子流形的微分球面定理。在最佳化曲率拼擠條件下，證明了復射影空間中任意余維平均曲率流的收斂性定理和緊緻子流形的微分球面定理。證明了第一特徵值拼擠條件下半球面中緊緻超曲面擬等距於標準球面，且微分同胚於標準球面。獲得了一般黎曼流形中一類緊緻帶邊子流形上Schrodinger運算元的特徵值個數的上界估計。證明了單位球面中n維緊緻極小超曲面的第二拼擠區間長度至少為n/18。證明了具有多項式體積增長的n維完備自收縮超曲面的第二拼擠區間長度至少為1/18。證明了單位球面中n維小常平均曲率超曲面的拼擠區間長度為n/18的數量曲率第二拼擠定理。獲得了積分型拼擠條件下歐氏空間中完備λ超曲面的剛性定理。證明了積分型拼擠條件下歐氏空間中具有平行Gauss平均曲率的子流形的空隙定理。證明了拼擠流形中緊緻平行平均曲率子流形的幾何剛性定理。在關於數量曲率和截面曲率的拼擠條件下，證明了黎曼流形的分類定理和微分球面定理。在最佳化截面曲率拼擠條件下，證明了空間形式中緊緻子流形的微分球面定里。獲得了歐氏空間中緊緻超曲面無跡Ricci曲率積分的拓撲下界和Betti數消沒定理。在《J. Funct. Anal.》(2篇)、《Trans. Amer. Math. Soc.》、《J. Geom. Anal.》、《Proc. Amer. Math. Soc.》、《Pacific J. Math.》(2篇) 、《Internat. J. Math.》、《Manuscripta Math.》、《Ann. Glob. Anal. Geom.》、《Pure Appl. Math. Q.》(2篇)、《Tohoku Math. J》、《Comptes Rendus Mathematique》、《Sci. China Math.》、《Chin. Ann. Math. Ser. B》等國內外重要刊物上發表錄用了20篇高質量論文。獲得高等學校科學研究優秀成果獎(自然科學獎二等獎)1項、世界華人數學家聯盟最佳論文獎(若琳獎)2項。指導微分幾何方向博士學位論文3篇、碩士學位論文5篇。
