高斯映射

高斯映射是從歐氏空間R³中的一個曲面到單位球面S²的一個映射，以卡爾·弗里德里希·高斯命名。

基本介紹

• 中文名：高斯映射
• 外文名：gaussian mapping
• 套用學科：數學
• 相關術語：全曲率
• 定義：一個曲面到單位球面的一個映射
• 所屬領域：微分幾何

定義

在微分幾何里，高斯映射是從歐氏空間R³中的一個曲面到單位球面S²的一個映射。高斯映射是以卡爾·弗里德里希·高斯命名。

給出R中的曲面X，高斯映射是一個連續映射N:X→S，使得N(p)是在點p上正交於X的單位向量，就是曲面X在點p處的法向量。

高斯映射可以在曲面的整體上定義，若且唯若曲面是可定向的，此時其映射度等於歐拉示性數的一半。無論何時高斯映射都可以在曲面的局部上（即曲面的一小塊上）定義。高斯映射的雅可比行列式等於高斯曲率，而高斯映射的微分稱為形狀運算元。

高斯以此為題在1825年寫了一份初稿，並在1827年發表。

全曲率

高斯映射的像的面積稱為全曲率，等於高斯曲率的曲面積分。這是起初高斯所給出的詮釋。高斯-博內定理將曲面的全曲率和曲面的拓撲性質聯繫起來：

推廣

高斯映射可以定義在Rⁿ中的超曲面上，從超曲面映射到Rⁿ中的單位球面S^n-1。