體積元

體積元(volume element)是一種外微分形式，微分流形上與定向相符的外微分形式。更一般地，一個體積元是流形上一個測度。

基本介紹

• 中文名：體積元
• 外文名：volume element
• 領域：數學
• 套用：微分流行

簡介

數學中，體積元提供了函式在不同坐標系（比如球坐標和圓柱坐標）下對體積積分的一種工具。更一般地，一個體積元是流形上一個測度。

在一個定向 -維流形上，體積元典型地由體積形式生成，所謂體積元是一個處處非零的 -階微分形式。一個流形具有體積形式若且唯若它是可定向的，而可定向流形有無窮多個體積形式（細節見下）。

有一個推廣的偽體積形式概念，對無論可否定向的流形都存在。

許多類型的流形有典範的（偽）體積形式，因為它們有額外的結構保證可選取一個更好的體積形式。在復情形，一個帶有全純體積形式的凱勒流形是卡拉比-丘流形。

定義

流形 上一個體積形式是處處非0的最高階（ -維流形上的 -形式）微分形式。用線叢的語言來說，稱最高階外積 為行列式線叢，-形式是它的截面。

對不可定向流形，一個體積“偽”形式，也稱為“奇”或“扭曲”的體積形式，可以定義為定向叢的一個處處非0截面；這個定義同樣適用於定向流形。在這種看法下，（非扭曲的）微分形式就是“偶” -形式。除非特別地討論扭曲形式時，我們總是略去形容詞“偶”。

第一次明確地引入扭曲微分形式是德拉姆。

定向

一個流形具有體積形式若且唯若它可定向，這也可以作為可定向的一個定義。

在 -結構的語言中，一個體積形式是一個 -結構。因為 是形變收縮（因為 ，這裡正實數視為純量矩陣），一個流形具有一個SL-結構若且唯若具有一個 -結構，即是一個定向。

線上叢的語言中，行列式叢 的平凡性等價於可定向性，而一個線叢是平凡的若且唯若它有一個處處非0的截面，這樣又得到，體積形式的存在性等價於可定向性。

對於偽體積形式，一個偽體積形式是一個 -結構，因為 同倫等價（事實上是形變收縮），任何流形都有偽體積形式。類似地，定向叢總是平凡的，所以任何流形都有一個偽體積形式。

和測度的關係

任何流形有一個偽體積形式，因為定向叢（作為線叢）是平凡的。給定一個定向流形上的體積形式 ，密度 是忘掉定向結構的非定向流形的一個偽體積形式。

任何偽體積形式 （從而任何體積形式亦然）定義了一個波萊爾集合上一個測度：

注意區別，在於任何一個測度可以在（Borel）子集上積分，而一個體積形式只能在一個“定向”胞腔上積分。在單變數微積分中，寫成 ，將 視為體積形式而不是測度， 表明“在 上沿著定向相反的反向積分”，有時記成 。

進一步，一般的測度不必連續或光滑，他們不必由體積形式定義；或更形式地說，關於一個體積形式的Radon-Nikodym導數不必絕對連續。

例子

1.李群

任何李群，可以由平移定義一個自然的體積形式。這就是說，如果 是 中一個元素，那么一個左不變形式可以定義為 ，這裡 為左平移。作為一個推論，任何李群都是可定向的。這個體積形式在相差一個常數的意義下是惟一的，相應的測度稱為哈爾測度。

2.辛流形

任何辛流形（或更確切地為殆辛流形）有一個自然的體積形式。如果 是一個帶有辛形式 的 -維流形，那么由辛形式非退化可知 處處非零。作為一個推論，任何辛流形是可定向的（事實上，已經定向）。

3.黎曼體積元

任何黎曼流形（或偽黎曼流形）有一個自然的體積（或偽體積）形式。在局部坐標系下，能寫成表達式：

這裡流形為 -維， 是流形上度量張量行列式的絕對值， 為組成流形餘切叢一組基的1形式。

這個體積形式有許多不同的記號，包括：

這裡 是霍奇對偶，從而最後一個形式 強調體積形式是流形上常數映射的霍奇對偶。

儘管希臘字母ω經常用於表示體積形式，但是這個記法很難通用，符號ω在微分幾何中經常有其它意思（比如辛形式），所以一個公式中的ω不一定就表示體積形式。

一個流形如果既是辛的又是黎曼的，如果流形是凱勒的那種方式定義的體積形式相等。

4.曲面的體積元

體積形式一個簡單的例子可以考慮嵌入 -維歐幾里得空間中的2-維曲面。考慮子集 ，以及映射函式

定義了嵌入到 中的一個曲面。映射的雅可比矩陣為

指標 從1跑到 ， 從1跑到2。 -維空間的歐幾里得度量誘導了集合U上的一個度量，度量矩陣分量為：

度量的行列式由

給出，這裡 是楔積。對一個正則曲面，這個行列式不為0；等價地，雅可比矩陣的秩為2。

現在考慮 的一個坐標變換，由微分同胚

給出。從而坐標 用 形式表示是 。坐標變換的雅可比矩陣為：

在新坐標系下，我們有：

從而度量變換為：

這裡 是在v坐標系下的度量。行列式：

給出以上構造後，現在可以直接理解為什麼體積在坐標變換下不變的。在2維，體積就是面積。子集 的面積由積分：

給出。從而，在任一坐標系下，體積都有相同的表達式，即這個表達式在坐標變換下是不變的。

注意到在以上表達式中2維並沒有任何特殊性，以上結論可以平凡地推廣到任意維數。