卡拉比-丘流形

卡拉比-丘流形是一個的第一陳示性類為0的緊n維Kähler流形，也叫做卡拉比-丘n-流形。數學家卡拉比在1957年猜想所有這種流形有一個里奇平直流形的度量，該猜想於1977年被丘成桐證明，成為丘定理。因此，卡拉比-丘流形也可定義為「緊里奇平直卡拉比流形」。

基本介紹

• 中文名：卡拉比-丘流形
• 外文名：Calabi-Yau manifold
• 提出者：丘成桐，卡拉比
• 提出時間：1977
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：拓撲
• 適用領域範圍：微分幾何

定義

數學上，卡拉比-丘流形（Calabi-Yau manifold，簡稱卡丘流形）是一個的第一陳示性類為0的緊n維Kähler 流形，也叫做卡拉比-丘n-流形。數學家卡拉比在1957年猜想所有這種流形（對於每個Kähler類）有一個里奇平直流形的度量，該猜想於1977年被丘成桐證明，成為丘定理（Yau's theorem）。因此，卡拉比-丘流形也可定義為「緊里奇平直卡拉比流形」（compact Ricci-flat Kähler manifold）。

也可以定義卡拉比-丘n流形為有一個SU(n)和樂（holonomy）的流形。再一個等價的定義是流形有一個全局非0的全純(n,0)-形式。

例子

在復一維的情況，唯一的例子就是環面族。注意環上里奇平直的度量就是一個平坦度量，所以和樂群（holonomy）是當然群，也叫SU(1)。

在復二維的情形，環T4和K3曲面組成了僅有的實例。T4有時不被算作卡拉比-丘流形，因為其和樂群（也是當然群）是SU(2)的子群而不是同構於SU(2)。從另一方面講，K3曲面的和樂群是整個SU(2)，所以他可以真正成為2維的卡拉比-丘流形。

在復三維的情況，可能的卡拉比-丘流形的分類還是為解決的問題。3維卡拉比-丘流形的一個例子是復射影空間CP4中的5次三流形。

套用

卡拉比-丘流形對於超弦理論很重要。在最常規的超弦模型中，弦論中有十個猜想中的維度，作為我們所知的4個維度出現，在加上某種纖維化，纖維的維度為6。卡拉比-丘n-流形的緊緻化很重要，因為他們保持一些原有的超對稱性不被破壞。更精確的說，卡拉比-丘3-流形（實維度6）的緊緻化保持四分之一的原有超對稱性不變。