霍赫希爾德上同調群

霍赫希爾德上同調群是同調代數中的一種上同調群。

基本介紹

• 中文名：霍赫希爾德上同調群
• 外文名：Hochschild cohomology group
• 所屬學科：同調代數

定義

代數定義

設A為上代數，M為A上雙模。定義

C(A,M)=M，為A的取值於 M的n+1線性泛函。

則C*(A,M)=為A的取值於M的霍赫希爾德上鏈復形。

其中微分運算元δ定義為

(δm)(a)=ma-am，

(δf)(a₁,...,a_n+1)=a₁f(a₂,...,a_n+1)++(-1)f(a₁,...,a_n)a_n+1，

其中m∈C(A,M)，f∈C(A,M)。

可證明δ=0。故C*(A,M)的上同調為A的取值於M的霍赫希爾德上同調群H*(A,M)。

對偶定義

設k為交換環，R為k上代數。則R的霍赫希爾德上同調為的對偶的上同調。

函子定義

定義函子H(A,-)從左模範疇到複線性空間範疇為

則霍赫希爾德上同調為Hom(A,-)或H(A,-)的左導出函子，故有。

性質

當n=0時，霍赫希爾德0上閉鏈為H(A,M)={m∈M|ma=am，對任何a∈A}。

當n=1時，霍赫希爾德1上閉鏈為導子，即線性映射f:A→M，滿足f(ab)=af(b)+f(a)b；1邊緣鏈為內導子 ，故H(A,M)為外導子組成的空間 。

當n=2時，設A含單位元，A對M的阿貝爾擴張為代數正合列0→M→B→A→0

其中B含單位元的代數，M擁有平凡的代數乘法。設E(A,M)為阿貝爾擴張同構類的集合，有自然雙射。設s:A→B為投射B→A的線性分裂，為曲率，對A中任意a,b定義為f(a,b)=s(ab)-s(a)s(b)。則f為霍赫希爾德2上閉鏈，且與分裂s的選取無關。對任意2上閉鏈，可定義B=A⊕M的乘法(a,m)(a',m')=(aa',am'+ma'+f(a,a'))，可證明若且唯若f為2上閉鏈時滿足結合律。則對2上閉鏈f的擴張為0→M→A⊕M→A→0。

形變復形

當M=A時，有雙模結構a(b)c=abc。此時C*(A,A)稱為形變復形或Gerstenhaber復形。

HH*

定義

當M=A*=Hom(A,)時，定義雙模結構為(afb)(c)=f(bca)。該雙模與循環上同調有關。

利用等同

故微分運算元δ變為b

將C*(A,A*)記為C*(A)，H*(A,A*)記為HH*(A)。

各階上同調

HH(A)={f:A→k|f(ab)=f(ba)，對任何a,b∈A為A的跡空間。

例子

HH（）=，HH（）=0。

與非交換幾何的聯繫

霍赫希爾德上同調與循環上同調的研究多集中於R為交換代數，且能被視為流形或抽象簇X上的光滑函式的情況。故霍赫希爾德上同調與循環上同調與X的德拉姆上同調有密切聯繫。