群的上同調(數學概念)

群的上同調是同調代數的一個概念。

基本介紹

• 中文名：群的上同調
• 外文名：cohomology of groups
• 所屬學科：同調代數

簡介

群的上同調為霍赫希爾德上同調群的特例。

定義

設G為群，M為左G模。則群G的係數取值於M的第n上同調群定義為

其中為平凡G模。

等價定義為

計算G的上同調的標準復形為

其中C(G,M)={f:G→M}。

其中δ定義為

(δm)(g)=gm-m，

δf(g₁,...,g_n+1)=g₁f(g₂,...,g_n+1)++(-1)f(g₁,...,g_n)。

對應的上同調為群的上同調H(G,M)。

套用

設A=為G的複數域上群代數，則M為雙模，作用為

g·m=g(m)，m·g=m。

故對所有n，，

從而有。

即的取值於M的霍爾希爾德上同調與G的取值於M的上同調一致。

定義M為M的底線性空間，定義M上左G作用g·m=gmg-1，且定義同構i:

為(if)(g₁,...,g_n)=f(g₁,...,g_n)g₁g₂,...,g_n。

反之，的取值於雙模M的霍爾希爾德上同調與G的取值於M的上同調一致。

例子

。

當A為平凡G模時，

其中G_ab=G/[G,G]。

性質

設G=G₁*G₂，A為左G模，B為右G模，則當n≥2，

H(G,A)≈H(G₁,A)⊕H(G₂,A)