德拉姆上同調群

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。商空間是一個線性空間模一個子空間所得的線性空間。

德拉姆上同調群(de Rham cohomology group)是閉形式空間關於正合形式空間的商。這是1930年由喬治·德拉姆給出的,他建立了微分流形的微分結構與拓撲結構的一個重要關係。

基本介紹

  • 中文名:德拉姆上同調群
  • 外文名:de Rham cohomology group
  • 領域:代數
  • 對象:閉形式空間
  • 提出者:德拉姆
  • 意義:建立了微分流形與拓撲結構的關係
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概念

德拉姆上同調群(de Rham cohomology group)是閉形式空間關於正合形式空間的商空間。設M是微分流形,稱閉p形式的實向量空間關於正合p形式子空間的商空間:
={閉p形式}/{正合p形式}為M的p維德拉姆上同調群。
這是1930年由喬治·德拉姆給出的,他建立了微分流形的微分結構與拓撲結構的一個重要關係。
設f:M→N是C映射,則有代數同態δf:E*(N)→E*(M),δf與d可交換,從而誘導出一個同態f*:HdeR(N)→HdeR(M),且對另一個C映射g:N→X有(g°f)*=f*°g*,(id)*=id。若f:M→N是一個微分同胚,則誘導出的同態f*是同構。這就表明德拉姆上同調群是微分流形的微分拓撲不變數。可以證明,若M是緊緻流形,則HdeR(M)是有限維的,其維數等於M的第p個貝蒂數bp

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構;是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合,a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”,運算結果稱為“乘積”)滿足:
(1)封閉性,a·b∈G;
(2)結合律,即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b,在G中存在惟一的元素x,y,使得a·x= b,y·a=b,則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如,所有不等於零的實數,關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法),構成一個群。
滿足交換律的群,稱為交換群
群是數學最重要的概念之一,已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱,就存在群。例如,可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質,來定義各種幾何學,即利用變換群對幾何學進行分類。可以說,不了解群,就不可能理解現代數學。
1770年,拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時,首先引入群的概念,而它的名稱,是伽羅瓦在1830年首先提出的。

微分流形

設M是仿緊豪斯多夫空間,且是拓撲流形,稱A= {(Uα,Фα)|α∈P}是它的地圖,如果{Uα|α∈P}是M的開覆蓋,Фα是從Uα到n維歐氏空間R的某開集上的同胚。(Uα,Φα)稱為坐標卡。如果兩個坐標卡 (Uα,Фα),(Uβ,Φβ) 滿足Uα∩Uβ≠Φ,則稱Φβ·Фα:Φα(Uα∩Uβ) →Φβ(Uα∩Uβ) 和Φα·Φβ: Φβ(Uα∩Uβ) →Фα(Uα∩Uβ) 為Uα∩Uβ上的坐標變換。如果A的所有坐標變換都是C可微的,則稱A為一個C地圖,其中1≤r≤∞。r也可等於ω,此時A稱為解析地圖。拓撲流形M的坐標卡 (U,Φ) 稱為與A是Cr相容的,如果任意(Uα,Φα) ∈A,坐標變換Φ·ΦαΦα·Φ均C可微。拓撲流形M的C地圖A稱為最大的,如果它包含M的所有與之C相容的坐標卡。M上的最大C地圖A稱為M的C微分結構。(M,A)稱為C微分流形,或簡稱為C流形。當r=∞時,C微分結構也稱為光滑結構,C流形也稱為光滑流形。r=ω時,C結構也稱為解析結構,C流形稱為解析流形。C流形(M,A)有時也簡記為M。
從直觀上看,拓撲流形是局部歐氏空間,局部之間用同胚映射(坐標變換)貼上在一起。n維C流形,不僅局部同胚於n維歐氏空間,而且局部之間是用C光滑、且其逆也C光滑的坐標變換貼上在一起。
兩個C流形M和N,f:M→N是連續映射,且任一點P∈M,有包含P點的M中的坐標卡(U,Φ)以及包含f(P)的N中的坐標卡(V,φ),使得f(U)⊂V,同時,映射φ°f°Φ-1:Φ(U)→φ(V)是C光滑的(1≤r≤∞或r=ω),則稱f是C映射。C映射也稱為光滑映射,C映射也稱為解析映射。其中稱為f的局部表示。
C流形M和N之間的同胚f:M→N,如果f和f均是C映射,則稱f是C微分同胚

向量空間

設K為交換體。稱賦以由下列兩個給定法則所定義的代數結構的集合E為K上的向量空間:
——記為加法的合成法則,
——記為乘法的作用法則,即從K×E到E中的映射,
這兩個法則滿足下列條件:
a)賦以加法的集合E是交換群;
b) 對K的任一元素偶(α,β),以及對E的任一元素x,
α(βx)=(αβ)x;
c) 對E的任一向量x,1x=x,其中1表示體K的單位元素;
d)對K的任一元素偶(α,β),以及對E的任一元素偶(x,y),
(α+β)x=αx+βx
α(x+y)=αx+αy.
當體K不再假定為交換的時,滿足上述條件的集合E稱為K上的左向量空間.
如果條件:
α(βx)=(αβ)x
換為:α(βx)=(βα)x,
則稱E為K上的右向量空間。在這種情況下,E上的作用法則記為:
例如,設K為交換體,而E為只有一個記為0的元素的集合。E賦以兩個法則:
(0,0)↦0,(α, 0)↦0
則E為K上的向量空間。
設A為非空集合,F為交換體K上的向量空間. 賦予從A到F中的全體映射之集F=ℱ(A,F)以下兩個法則:
——給定從A到F中的映射f與g,映射f+g使A的任一元素x對應元素f(x)+g(x);
——給定K的元素a和從A到F中映射f,映射αf使A的任一元素x對應F的元素αf(x)。
則ℱ(A, F)為一向量空間,很自然地稱之為從A到F中的全體映射之向量空間。
當A為自然數集N的區間[1,n],而F=K時,向量空間ℱ(A,F)就是向量空間Kn。

商空間

商空間是一個線性空間模一個子空間所得的線性空間。設V是域P上的線性空間,W是V的子空間,對V中每一元α,定義α+W={α+β|β∈W},設V-={α+W|α∈V},利用V的加法及P與V的純量乘法,可以在V-內引入如下的加法及P與V-的純量乘法:
(α+W)+(β+W)=(α+β)+W,
k(α+W)=kα+W (k∈P)。
這樣的定義是完全確定的,而且V-關於這樣定義的運算構成域P上的一個線性空間,稱為V對子空間W的商空間,記為V/W。例如,若V是P上5維線性空間,α1,α2,α3,α4,α5是基,W是由α1,α2生成的子空間,則V/W是由三個元素α3+W,α4+W,α5+W生成的商空間,而且這三個元素正好是V/W的基。一般地,若dim V/W有限,則稱其為W關於V的余維數,記為Codim W。

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