《高階結構、上同調及其在數學物理中的套用》是依託河南師範大學，由張濤擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：高階結構、上同調及其在數學物理中的套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：張濤
- 依託單位：河南師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
受量子場論、規範理論和超弦理論中的問題驅動，高階結構是近年來數學發展的一個重要方向。它與數學和物理的許多領域都密切相關，因而成為當前的研究熱點。本課題主要研究對象為高階代數結構，內容包括L-無窮代數，Courant代數胚，omni-李代數和n-李代數,Leibniz代數等等。我們主要研究他們的上同調理論、形變和擴張，為其進一步發展和在泊松幾何和數學物理方面的套用奠定嚴格的數學基礎。同時，我們對它們性質和分類問題進行研究，可以推廣已有的結果，豐富高階結構的研究內容。
結題摘要
本課題主要研究對象為高階代數結構，包括Hom-Lie-Rinehart代數，Courant代數胚，Hom-Lie-Yamaguti代數和高階omni-李代數胚等。主要研究內容和結果分為以下三個方面。1． 作為Hom-Lie algebroids的代數化，定義了Hom-Lie-Rinehart代數的作用、Hom-Lie-Rinehart代數的交叉模和cat1-Hom-Lie-Rinehart代數的概念。證明了Hom-Lie-Rinehart代數的交叉模與cat1-Hom-Lie-Rinehart代數存在著一一對應。2．定義了一般Hom-Lie-Yamaguti代數的表示、上同調，給出Hom-Lie-Yamaguti代數上同調的上邊緣運算元的具體形式。根據這個上同調，討論(2,3)-階上同調群在Hom-Lie-Yamaguti代數的形變和Abelian擴張中的作用，證明了(2,3)-階上同調群的元素與Abelian擴張的等價類之間存在一一對應。3．給出高階omni-李代數胚的一個適當的定義，研究了它的Dirac結構。作為例子，討論了平凡線叢上的高階omni-李代數胚，說明它的Dirac結構和A. Wade在2000年定義的Conformal Dirac結構之間聯繫。這些研究成果具有一定的廣泛性和創新性，為進一步深入探討高階結構奠定了基礎。
