零熵系統的複雜性及相關動力學性質的研究

《零熵系統的複雜性及相關動力學性質的研究》是依託南京大學，由竇斗擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：零熵系統的複雜性及相關動力學性質的研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：竇斗
• 依託單位：南京大學

項目摘要

熵是動力系統研究中的重要內容，熵越大則系統越複雜，但是零熵系統仍然會有很強的複雜性。而從複雜性的角度對零熵系統進行研究，目前尚不多見。本項目主要研究的是零熵動力系統的複雜性及其相關課題。具體內容包括：一. 在拓撲動力系統的框架下，尋找零熵系統中與複雜性相關的拓撲共軛不變數並發展相應的局部化理論；二. 研究上述理論在遍歷理論框架下的對應，既包括相應的平行性理論，也包括兩套理論之間的聯繫與區別，比如此時的變分原理是否成立，原因何在等；三. 研究零熵系統中複雜性與其它動力學性質之間的關聯，比如多大程度的複雜性會產生混沌等；四. 上述問題在一般群作用下的情況。近年來局部化、序列化、獨立性等思想在動力系統研究中起著越來越大的作用，本項目希望能通過這些思想對零熵動力系統的精細結構和複雜性產生機制進行深入研究，並豐富該領域的研究成果。

結題摘要

本項目研究的是零熵動力系統的複雜性及其相關課題。 通過獨立性與序列化的思想，我們引入了拓撲熵維數和測度熵維數的定義並發展了相應的局部化理論，證明了相應的不交性定理，給出了Kolmogorov系統在零熵框架下的對應。我們還深入研究了拓撲熵維數和測度熵維數之間的聯繫，證明了熵維數不滿足通常意義下的變分原理，但是對Bowen型熵維數和測度局部熵維數，存在一個弱的變分原理，即Bowen型熵維數等於所有機率測度的局部熵維數的上確界。我們還研究了非緊集合和非自治動力系統的熵維數。此外，對圓周無理旋轉上的special flow，我們證明了此類系統拓撲動力學結構的一個二分法：要么是拓撲弱混合的，要么是等度連續的；要么是Li-Yorke混沌的，要么是無scramble對的。綜合以上研究結果，本項目累計已發表SCI論文4篇，已接受SCI論文1篇，另有4篇正在進一步完成中。