《遍歷理論及其在組合數論中的套用》是依託中國科學技術大學，由葉向東擔任項目負責人的重點項目。
基本介紹
- 中文名：遍歷理論及其在組合數論中的套用
- 項目類別：重點項目
- 項目負責人：葉向東
- 依託單位：中國科學技術大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目研究遍歷理論及其在組合數論中的套用。我們將圍繞遍歷系統的基本理論，特別是回復性、複雜性、穩定性以及它們在組合數論中的套用開展研究。具體地說，我們將研究：零熵系統不變數與Furstenberg猜測、可數sofic群作用下的熵理論、逐點的多重遍歷定理、冪零系統與Bohr問題、高階幾乎自守系統和矩陣值馬爾科夫鏈的穩定性等問題。預期：引入有變分關係成立的零熵系統不變數，對Furstenberg猜想的研究取得進展；將amenable群作用熵的諸多理論擴展到可數sofic群作用；得到一般的2重平均的逐點收斂定理，在單個映射的多重遍歷平均的逐點收斂問題上取得突破；對高階冪零系統回復時間集的結構進行深入研究，獲得高階幾乎自首系統的若干等價刻畫和套用；證明高階冪零系統的回覆集包含一個一階冪零系統的回覆集，在Bohr問題的研究上取得突破；得到馬爾科夫鏈穩定性的示性刻畫等。
結題摘要
在項目執行期間，葉向東、黃文、邵松獲2018年度國家自然科學獎二等獎，項目負責人葉向東在2019年當選中國科學院院士。累計培養出站博士後4人，博士畢業15人（其中1人獲2019年中科院優秀博士論文），碩士畢業14人。項目組成員與他人合作總計發表論文69篇，另有7篇論文已被接受。本項目圍繞遍歷系統的基本理論，特別是回復性、複雜性、穩定性以及它們在組合數論中的套用開展研究。在高階幾乎自守系統、多重遍歷定理、零熵系統與Sarnak猜測等問題上取得了一系列重要結果。Bohr問題是調和分析和動力系統中一個多年未解決的問題，美國著名數學家Veech在1968年證明此問題幾乎正確(忽略零密度集的意義下)。我們提出此問題的高階形式，並以冪零李群為工具證明此問題的高階形式也幾乎正確。另外給出了高階幾乎自守系統的多種刻畫，此結果建立了回復性與冪零系統間的深刻聯繫。多重遍歷定理源於沃爾夫獎得主Furstenberg在1977年使用遍歷理論的方法給出Szemeredi定理新的證明這一經典工作，它涉及多重遍歷平均是否收斂的問題。我們在逐點多重遍歷定理方面取得進展，建立了遍歷distal系統的逐點多重遍歷定理。這項工作和菲爾茲獎得主Bourgain 1990年的工作一起被後續研究者稱為相關研究的二項最顯著成果，也被知名學者Weiss（美國藝術與科學院外籍院士）,Host-Kra(美國藝術與科學院院士)等人在國際會議和專著中多次專題介紹。2009年沃爾夫獎得主Sarnak提出了關於莫比烏斯函式與零熵序列漸近正交性的Sarnak猜測，這是目前熵理論與數論關聯最為基本的科學問題之一，當前相關研究剛剛起步。我們在零熵系統與Sarnak猜測方面取得進展，對零熵的非交換環面自同構、次多項式平均複雜度系統證明了Sarnak猜測。我們在Sarnak猜測方面的工作已被菲爾茲獎得主陶哲軒引用，Ferenczi等2018年在關於Sarnak猜測最新進展的綜述文章中用第5.4節來專門介紹我們關於次多項式複雜度方面的工作。此外，我們在動力系統混沌理論與複雜性理論、amenable群作用熵理論以及矩陣值馬爾科夫鏈的穩定性的示性刻畫等方面也獲得了一系列結果。
